264 G. W. Strauch. 



Daraus kann aber nur folgen 



227) (y-lj) - (x-t) . ± = 



und hiermit wird diejenige Grade dargestellt, welche durch den Punkt (x, y) der gesuchten 

 Refractions-Curve geht, und zugleich die zum Punkte (r., t)) der vorgeschriebenen Diakaustika 

 gehörige Tangente ist. Jede Diakaustika ist ja, wie schon im §. 1 auseinander gesetzt wurde, 

 eine einhüllende Gränz-Curve. 



Eliminirt man jetzt mittels 227) die Differenz (y — ty) aus 225), so fällt auch die Differenz 

 (x — i) mit hinweg; und 225) geht über in 



{df + dxf) + | . [Vdp + dtf) . dE = 

 oder in 



/ . \/ c lf + dtf + dE = 

 Daraus folgt 



dE = + X . Vdf + diy 

 oder 



228) E=K ± X.fVdf + dxf 



wo K ein Integretions-Constanter ist. Gleichung 221) geht also über in 



229) + k . V{x—y.)- + (y—t)f = x + K ± k . jVdf + dtf 

 Mit dieser Gleichung muss man aber noch folgende drei 



227) (y-$ - (x-t) . -g- = 



208) 8 fr, 9) = ° 



230) #- + -# • -r 1 = 



> dl ch) di 



verbinden, d. h. man muss die in 229) angezeigte Integration ausführen, und sodann die drei 

 Bestandtheile r., t), dt) eliminiren. Dabei fällt auch e?r. mit hinweg, und es ergibt sich eine 

 Gleichung zwischen x und y und dem Integrations-Constanten K. Diese neue Gleichung ist 

 aber ein einfach singuläres Urintegral zu 209); und durch dasselbe ist, wegen des Inte- 

 grations-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Refractions-Curven dargestellt, 

 von welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auf- 

 fallen, die bestimmt vorgeschriebene Diakaustika g Qc, t)) = erzeugt wird. 



Zweite Methode. Zu dem einfach singulären Integral kann man auch mittels der 

 ersten Stammgleichung gelangen. Man beachte also wiederum, das* die Integrations- 

 Constanten von x und von y unabhängig sind bei allen sich schneidenden Ellipsen (oder Hyper- 

 beln) ; und wenn man in dieser engen Beziehung die Gleichung 218) differentiirt , und dabei 

 sich erinnert, dass v diesmal nichts als ein mit^? versehener Ausdruck ist; so bekommt man 



dp (»-t-iO 



231) 



dx (x-A) . ± 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen von x sein bei allen Gränz-Curven; und 

 wenn man in dieser weiteren Beziehung die Gleichung 2 18) nach allen x differentiirt, so bekommt 

 man jetzt ^ (e+p) ™ + «, ^ 



232) ä, - " ( _^ )p * + C-A).± ' <** 



