Das umgekehrte Problem der BrennUnien. 265 



Damit aber aus 231) und 232) für ~ zwei ebenförmige Ausdrücke sich ergeben können, 

 muss die Gleichung 



233) § + v = 



stattfinden. Nun folgt aus 217) die Differentialgleichung 



g.) in 'llg <*B% dB o 



~ di ' <U "T <ZK - <U — 



und wenn man aus den vier Gleichungen 217), 218), 233), 234) die drei Bestandtheile 

 A, B, — eliminirt, so bekommt man endlich 



dA 



y -j- v . X = (p (v) 



wo die Form des Ausdruckes <p (v) abhängig ist von g (A, B) = 0. Hier hat man für v noch 

 den Ausdruck 



p + YX*.(l+j*)-l 



zurückzuführen , und die sich ergebende Differentialgleichung erster Ordnung zu integriren. 

 Dadurch gelangt man zu der nämlichen mit x,y und dem Integrations-Constanten AT versehenen 

 Urgleiehung, wie bei der ersten Methode. 



Dritte Methode. Lässt man die Gleichung 213), d. h. die Gleichung 



213) ^--S = ° 



gelten, so hat man jetzt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; und man muss eine 

 solche der ersten Ordnung aufsuchen, von welcher die beiden Gleichungen 209) und 213) 

 zugleich erfüllt werden. Die hier aufgesuchte Differentialgleichung erster Ordnung wird aber 

 genau wieder die Gleichung 235) sein, durch deren Integration sich also auch die nämliche 

 mitx,y und dem Integrations-Constanten K versehene Urgleiehung ergibt, wie bei der ersten 

 Methode. 



(Man vergleiche die dritte Methode, in §. 17, §. 18, §. 19.) 



Zusatz. Alle hier in §. 16 befindlichen refractorischen Resultate gehen, wenn man 

 X = — 1 setzt, wieder in die reflexorischen (§. 6) über. Bei X = - - 1 bekommt aber die 

 Gleichung 222) Null in den Nenner, und dabei verliert die Gleichungsform 222) ihre Gültig- 

 keit. Desshalb muss man — 1 statt X schon in 221) einsetzen, und erst alsdann darf man 

 umformen, wodurch sich wieder die Gleichung 37) ergibt. 



§• 17- 



Beispiel 1. Man sucht diejenige Refractions-Curve, bei welcher die parallel auf sie ein- 

 fallenden Lichtstrahlen so gebrochen werden, dass die zugehörige Diakaustika die durch 

 folgende Gleichung 



236) tf = h . f 



vorgeschriebene semi kubische Parabel ist. 



Denkschriften der mathem.-natuturw. Cl. XX. Bd. Abhandl. v.Nichtmitgliedern. n 



