266 G. W. Strauch. 



Hier bekommt man für die gesuchte Kefractions-Curve folgende Differentialgleichung der 

 zweiten Ordnung 



237) (y-v. (v+p) . 3 3 = h . (x + (v+p) . ^ 



und wenn man differentiirt , so gibt sich weiter 



238) -[3 ü .(y-,.(.+i J ).g) 2 +2A.^+(, +i? ).g)].(2 + |.J-(,+ i?) .g)=0 

 Lässt man die Differentialgleichung dritter Ordnung 



gelten; so ist (nach §. 16) die den beiden Differentialgleichungen 237) und 239) zugleich 

 genügende Differentialgleichung erster Ordnung dargestellt durch die Verbindung der beiden 

 Gleichungen 



240) B 3 = h . Ä 

 und 



241) (y— B) + (x—Ä) . v = 



Jetzt substituire man für v den Ausdruck 11), so setzt Gleichung 241) sich um in 



242) (y—B) - (x-A) . p = ((y -B) . p + (x—Ä)) . V )c . (l+p*) — l 



und wenn man mit dieser Gleichung weiter verfahrt, wie mit Gleichung 203) in §. 15; so ist 

 das allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



243) B 3 = k . A 2 

 und 



244) + X . V{y—Bf + (x—Af = x + E 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



245) tf = h . r 

 und 



246) T l . V(y-i)f + (x— je) 2 = x + E 



dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Schaaren konischer Ellipsen oder koni- 

 scher Hyperbeln, deren Hauptaxen mit der allen diesen Curven gemeinschaftlichen Abscissen- 

 axe parallel laufen, und deren einer Brennpunkt im Umfange der vorgeschriebenen Diakau- 

 stika liegt. 



Nun sind die Refractions-Curven als Gränz-Curven der zweiten Ordnung nicht durch 

 allgemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann 

 man, wie schon im §. 16 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen ab- 

 leitet, so specialisiren die in §. 16 aufgestellten zwei Gleichungen 227) und 229) sich diesmal in 



247) (y-t)) - (x- T ) . M = 



und 



248) + X . V{y-t>T + (x-nY = x + K±X. V{i ^^ r 



