Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 267 



Wenn man zuerst die Differenz [y — tj) und hierauf die Differenz (x — r) aus 247) und 248) 

 eliminirt, so bekommt man bezüglich 



249) ^^^ =K±X.4±.V*.t)* + 9.f 



und 



3.J - 27. X) 



250) -*-**^^-t\ y = K-{*X.ti--±).V4.x,> + ».t 



Durch die Verbindung der drei Gleichungen 236), 249), 250) hat man, wegen des Integrations- 

 Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Eefractions-Curven , von welchen allen, 

 sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, die bestimmt 

 vorgeschriebene Diakaustika ty 3 = h . r.' J erzeugt wird; und weil x und y als Functionen von 

 r und t) ausgedrückt sind, so können alle diese Refractions-Curven mittels der Coordinaten 

 7er vorgeschriebenen Diakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass, je nachdem man aus 236) und 249) entweder das t) oder 

 das r. eliminirt, im ersten Falle das £ und im zweiten Falle das t) als Function von x und von 

 K erscheint; und hiermit ist nachgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 236), 

 249), 250) ein einfach singuläres und nicht ein einfach particuläres Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten Stamm- 

 gleichung ableiten will, so muss man die zwei Gleichungen 240) und 241) zu Hülfe nehmen; 

 und dabei specialisirt sich Gleichung 235) in 



, i.h 1 



251) y J r v - x = ^r --p 



Das nächste Geschäft ist jetzt, dass man sich überzeugt, ob von der Gleichung 251) auch 

 die 237) erfüllt wird, und ob das zu 251) gehörige Integral ein einfach singuläres oder nur 

 ein einfach particuläres ist. Aus 251) aber folgt der Reihe nach 



252) y = — v .x 



■27.«'-' 



9 



S./< \ dv 



dx 



253) p = — v — [x -f -^-) 



> dp_ _ _ g &, J±h_ rdtYl _ ( r _i_ M.) fl 



- ,)4 V dx — - ■ dx T- 9 . 4 - {dx) t ^ 9.»sJ • dv? 



Wenn man die für y und p hergestellten Ausdrücke in Gleichung 237) substituirt, so wird 

 diese identisch, d. h. Gleichung 237) wird von dem zu 251) gehörigen Integral erfüllt. Wenn 

 man ebenso die hier für p und -£- hergestellten Ausdrücke in Gleichung 239) einsetzt, seredu- 

 cirt sich diese auf 



H.h dv -, 



255) Ö7P" " dx* 



Diese Gleichung trägt aber einen Widerspruch in sich selbst; und somit ist man überzeugt, 

 dass das zu 251) gehörige Integral wirklich ein einfach singuläres der vorgelegten Differential- 

 gleichung 23 7) ist. Um jedoch Gleichung 251) weiter behandeln zu können, muss man für 

 v den (in §. 3 aufgestellten) Ausdruck 11) zurückführen; und dabei geht Gleichung 251) über in 



256) y- ^mci^-i .^^.(i-*™-^- 1 .) 



