Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 269 



reducirt; und wenn man aus 247) und 261) die Differenz (y — ty) elirninirt, so fallt auch die 

 Differenz (x — x) mit hinweg, d. h. die Gleichung 261) geht über in 



Daraus folgt weiter 



263) VX 2 .{l+f) — l = 



-3.S + /i.t^.l) 3 + 9.j* 

 2 . I) 



S.(P— 1).I 



264) . - X> . p + V)c . (1 4-p 3 ) - 1 = , . , 



265) p-Vi.ii+rt-i- *™;!?*** 



2/ y 

 Man substituire jetzt die betreffenden Ausdrücke in Gleichung 259), so geht diese über in 



- 3., -M.^ ,» + ..,» X = L+ > « .>/4.^ + 9.r 2 



».(/-— l) . j — /i— 1 2a; 



oder, wenn man Alles mit (A 2 — 1) multiplicirt , in 



266) - '■* + ffi' + 9 -^- . x = (A 2 — 1) . L + A.^.V4:.\)*+ 9 . r. 2 



Man substituire auch die betreffenden Ausdrücke in Gleichung 260), so geht diese über in 



•3.J + >..Vi.t)* + $.f n , n r , 4Ä 



21, 



. y = (A»-i).L± A.-^-.n.^ + g.^ 2 



3 ' l) 3 ' 2.1) 



oder in 



267) -^^ : /^± l^.y = ^-l).L-iTX.^-^).V^^ + 9.f 



Wenn man hier noch K statt ()?— 1) . L setzt, so fallen die Gleichungen 266) und 267) genau 

 mit 249) und 250) zusammen, wie zu beweisen war. 



Dritte Methode. Man kann das einfach singulare Integral auch gewinnen, wenn 

 man bei Gleichung 238) den ersten Factor zu Null werden, d. h. wenn man die Gleichung 



268) 3v.(y-v.(v + p).^) 2 ==-n.(x+(v + p). d ^ 

 gelten lässt. Man dividire 237) in 268), so gibt sich 



3, . [x + (v 4-p) . ■£)= - 2 . (y- v . (v +p) . ff) 



269) o.(tH-p).-|- = — (2y+3ia) 



Man eliminire — aus 269) und aus 237), so gibt sich weiter 



270) 27 . (y + vx) z = ~ . {—y—vxf 



oder 



2 ' J ) y + v . x = — . Vi 



