Das umgekehrte Problem der Brennlinien. '111 



oder, was das nämliche ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 

 2S1) ^ 2 = 2h.fi 



uml 



282) + X . \ (y—t)f + (x— je) 2 = x + E 



dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Schaaren konischer Ellipsen oder koni- 

 scher Hyperbeln, deren Hauptaxen mit der allen diesen Curven gemeinschaftlichen Abseissen- 

 axe parallel laufen , und deren einer Brennpunkt im Umfange der vorgeschriebenen Dia- 

 kaustika liegt. 



Nun sind dieRefractions-Curven als Gränz-Curven der zweiten Ordnung nicht durch all- 

 gemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann man, wie 

 schon in §. 16 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen 

 ableitet, so beachte man, dass wie in §. 8, so auch hier 



±JVd? + dt)- = ± ^f- — T ■ Ignat ( - h ) 



ist; und so specialisiren sich die (im §. 16 aufgestellten) zwei Gleichungen 227) und 229) 

 diesmal in 



283) 0/-h) - (s-je) ■ y - 



und 



284) + üY^r + M = x + K+X.\± -^p^"- ± • Ignat (~^^) j 



Eliminirt man zuerst die Differenz (// — t)), und hierauf die Differenz (x — r) aus 283) und 284), 

 so bekommt man bezüglich 



285) ->T^ T y x = R __ x m * lgnat ( -"^-'-H'-' ) 



und 



286) -j- - . y = £■ + JLL ,!_ — (* -T ■ ^ nat l h J 



Durch die Verbindung der drei Gleichungen 272), 285), 286) hat man, wegen des 

 Integrations-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Refractions-Curven, von 

 welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auf- 

 fallen, die bestimmt vorgeschriebene Diakaustika if=2h.f. erzeugt wird; und weil x und y 

 als Functionen von r. und t) ausgedrückt sind, so können alle diese Refractions-Curven mittels 

 der Coordinaten der vorgeschriebenen Diakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass, je nachdem man aus 272) und 285) entweder das i) oder 

 das r. eliminirt, im ersten Falle das r. und im zweiten Falle das t) als Function von x und von 

 K erscheint; und somit ist nachgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 272), 

 285), 286) ein einfach singuläres und nicht ein einfach particuläres Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten Stamm- 

 gleichung ableiten will, so muss man die zwei Gleichungen 276) und 277) zu Hülfe nehmen; 

 und dabei specialisirt sich Gleichung 235) in 



287) y 4- v . x = — ~ 



