Das umgekehrte Problem der Brennlinien- 273 



(Man vergleiche den Zusatz am Ende dieses §'s, wo der Wenn X = — 1 besprochen 

 werden wird.) 



Durch die Verbindung der beiden Gleichungen 295) und 29G) hat man, wegen des 

 Integrations-Constanten L, abermals eine Reihe stetig auf einander folgender Eefractions- 

 Curven, von welchen allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscis- 

 senaxe auffallen, die bestimmt vorgeschriebene Diakaustika tf = 2h. r. erzeugt wird; und weil 

 x und y als Functionen von p ausgedrückt sind, so können alle diese Refractions-Curven 

 mittels ihrer Tangenten construirt werden. 



Dass aber aus der Verbindung von 295) und 296) dieselben Curven hervorgehen, wie aus 

 der Verbindung der Gleichungen 285) und 286) ; davon überzeugt man sich auf folgende Weise: 



In Folge der Gleichungen 223), 224), 225) ist bekannt, dass, es mögen die Bestand- 

 teile r., t>, £ von x unabhängig oder von x abhängig sein, der für p hervorgehende Ausdruck 

 sich jedesmal auf 



reducirt; und wenn man aus 283) und 297) die Differenz (y — r>) eliminirt, so fällt auch die 

 Differenz (x — ;r) mit hinweg, d. h. Gleichung 297) geht über in 



298) p = -=Ü£2 



und daraus folgt weiter 



_ t, + l.YlfiZ- 



299) VX i .(l+p*)-l = 



300) (— X % . p + Vx*(l +p ') — 1)- 



h 



(— l— 1) . (t) ± ^//--i-rD-'l 



301) lgnat [x.p+\ A*.(l+^)-l ) = lgnat (±±^LJl±I*±fL) 



= lgnat (-A-1) 4- lgnat (±±*£±*) 

 = lgnat (— X — 1) — lgnat { l)±Vh2+i)2 ) 

 = lgnat (-X-1) - lgnat (=•*!*+£.) 

 Man substituire die betreffenden Ausdrücke in Gleichung 295), so bekommt man 



— i) + /.t / i)'-'-t-''<- Cr i -*•>« i w i i\1 '*- / ' i + ( — M±^9 2 +* ä 

 (x*-!,.., " ' * = l L + 2-^=1) • % nat (-^- 1 )J — oTTI^T) • ! g nat 1 Ä- 



(#ä— l).y " "" V." ' 2.(/ä— 1) 



oder, wenn man Alles mit (A 2 — 1) multiplicirt, 



302) -'*y*>+» . x - = ((^_.l) . L + Jf . lgnat (-A-1)) - -*£- . lgnat (=i±^) 

 Man substituire ebenso die betreffenden Ausdrücke in Gleichung 296), so bekommt man weiter 



303) -»TiiVr*» . y = ((P _ 1} . £ + ^ . i gnat (_;_!)) + >^±A^!±^ 



r- • lgnat { - h J 



Wenn man hier noch K statt ((X 2 — 1) . L-\-— '— . lgnat ( — X — 1) ) setzt, so fallen die Gleichun- 

 gen 302) und 303) genau mit den Gleichungen 285) und 286) zusammen, wie zu beweisen war. 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XX. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgliedern. *k 



