Das umgekehrte Problem der Brennliniert. 275 



gelten; so ist (nach §. 16) die den beiden Differentialgleichungen 308) und 310) zugleich 

 genügende Differentialgleichung erster Ordnung dargestellt durch die Verbindung der beiden 

 ( rleichungen 



311) A* + B* = ¥ 



und 



312) (y— B) + (x—A) . v = 



Jetzt substituire man für v den Ausdruck 11), so setzt Gleichung 312) sich um in 



313) (y—B) — {x—A) . p = [(y—B) . p + (x—A)) . V X 1 (1 +p*) — 1 



und wenn man mit dieser Gleichung weiter verfährt, wie mit Gleichung 203) in § 15; so ist 

 das allgemeine Integral durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



314) A 2 + B* = tf 



und 



315) + A . V(y— Bf + {x—A) 1 = x + E 



oder, was dasselbe ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



SIC.) f + tf = Jc 2 



und 



317) + A . V(y— t))* + {x— r) 2 = x + E 



dargestellt, d. h. man hat alle jene unendlich vielen Schaaren konischer Ellipsen oder koni- 

 scher Hyperbeln, deren Hauptaxen mit der allen unseren Curven gemeinschaftlichen Abseis- 

 senaxe parallel laufen , und deren einer Brennpunkt im Umfange der vorgeschriebenen Dia- 

 kaustika liegt. 



Nun sind die Refractions-Curven, als Gränz-Curven der zweiten Ordnung, nicht durch 

 allgemeine, sondern durch einfach singulare Integrale darzustellen; und diese kann man- 

 wie schon in §. 16 vermerkt, auf drei verschiedenen Wegen aufsuchen. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen 

 ableiten will, so beachte man, dass, wie in §. 9, so auch hier 



fv# 



-f dtf = k . arc tg ~ 



ist; und so specialisiren sich die (in §. 16 aufgestellten) zwei Gleichungen 227) und 229) dies- 

 mal in 



318) iy-X,) + (x-v) . | = 



und 



319) + X . V(x— r.) 2 + (y— \)) 2 — x -f K + X . k . arc tg| 



Um nun das x als Function von r. und \) auszudrücken, eliminire man die Differenz (y — ty) aus 

 318) und 319); so bekommt man 



320) + (,-r) J-^t^ = X + K ±\.k. arc tg I 



u 



kk* 



