276 G. W. Strauch. 



Um ferner auch das y als Function von £ und t) auszudrücken, addire man auf der rechten 

 Seite der letzten Gleichung die identische Differenz (r— r.) ; so gibt sich 



321) t^-^.VFT^ = r + (x-X) + K ± Ik . are tg j 

 Nun folgt aus 318), dass 



322) (,r-r) = - (y-t)) . } 



und wenn man jetzt die Differenz (x— r) aus 321) eliminirt, so gibt sich weiter 



323) * fr"» • ;. • ** + * = t - (y- 9 ) • ! + # i^.&.arctgi- 



Man kann aber, wegen Gleichung 307), auch k* statt (^-f-t) 2 ), und folglich auch k statt Vr." + r/ J 

 setzen; und so kann man 320) und 323) umformen in 



324) ~ " + l • * . x = K + X . & . (| — arc tg f ] 



' l) VI) r I) J 



und 



325) -"; A -* .y = -g-^TA.fc.(i- + arctg{) 



Durch die Verbindung der drei Gleichungen 307), 324), 325) hat man, wegen des Integra- 

 tions-Constanten K, eine Reihe stetig aufeinander folgender Refraetions-Curven, von welchen 

 allen, sobald die ursprünglichen Lichtstrahlen parallel mit der Abscissenaxe auffallen, die 

 vorgeschriebene Diakaustika r. 2 + ty 2 = & 2 erzeugt wird; und weil x und y als Functionen 

 von r. und t) ausgedrückt sind, so können die Refraetions-Curven mittels der Coordinaten der 

 vorgeschriebenen Diakaustika construirt werden. 



Auch ist zu bemerken, dass, je nachdem man aus 307) und 324) das t) oder das £ elimi- 

 nirt, im ersten Falle das £ und im zweiten Falle das t) als Function von x und K erscheint; 

 und somit ist nachgewiesen, dass die Verbindung der drei Gleichungen 307), 324), 327) ein 

 einfach singuläres und nicht ein einfach particuläres Integral ist. 



Zweite Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus der ersten Stamm- 

 gleichung ableiten will, so muss man die zwei Gleichungen 311) und 312) zu Hülfe nehmen; 

 und dabei specialisirt sich Gleichung 235) in 



326) y + v . x = + k . Vi 4- v- 



Das nächste Geschäft ist jetzt, dass man sich überzeugt, ob von der Gleichung 326) auch die 

 308) erfüllt wird, und ob das zu 326) gehörige Integral ein einfach singuläres oder ein ein- 

 fach particuläres ist. Aus 326) folgt der Reihe nach 



327) y = — v • x + k . Vi + v 2 



nr\n\ l h . V \ dv 



329^ ^1 — _ o fl j. f_ v t — ——} dh ' + h [ de \ 



- J) d, — - • g, + l x + /TT^J * **~ + (Vl+^f • UJ 



Wenn man die hier für y und p hergestellten Ausdrücke in Gleichung 308) substituirt, so 

 wird diese identisch, d. h. Gleichung 308) wird von dem zu 326) gehörigen Integral erfüllt. 



