Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 277 



Wenn man ebenso die hier für p und -~ hergestellten Ausdrücke in Gleichung 310) substi- 

 tuirt, so reducirt sich dieselbe auf 



330) + - * u . -p- = 



und weil letztere Gleichung einen Widerspruch in sich selbst trägt, so ist man überzeugt, dass 

 das zu 326) gehörige Integral wirklich ein einfach singuläres der Gleichung 308) ist. Um 

 jedoch Gleichung 326) weiter behandeln zu können, muss man für v den (in §. 3 aufgestellten) 

 Ausdruck 11) zurückführen; und dabei geht Gleichung 326) über in 



i + p' 1 



331) 



y — 



p + Yx* . (i + ,ij _ i 



x 



+ X . k 



l—p. Vi*, (l+p 2 ) — 1 l — p . Y& . (l+i)*) — 1 



Diese Gleichung nimmt eine bequemere Form an, wenn man bei beiden Brüchen Zähler und 

 Nenner mit [p — VA" . (1 +JP 2 ) — l) multiplicirt; denn dadurch bekommt man 



332) y <*-»>■<"*> 



x 



= + X . k . 



(p — Vx* • (i+j> 2 ) - • (i+p 2 ) 



(- /.'-' .1) -\-Y». (1 +^j - lj . (1 +1'-) (- & . P + ^ . (1 ^2) - 1) . (1 +J pS) 



oder, wenn man im Zähler und Nenner den gemeinschaftlichen Factor (l+_p 3 ) unterdrückt, 

 333) y - . x = + X . k 



p -Y».{i +P i) — i 



- /-' . p + YV . (l+jps) - 1 — A* . i> + n* . (1 +!>*) - 1 



.Alan differentiire , und ziehe hierauf die beiden ersten Theilsätze zusammen, so gibt sich 



334) 6» -'»•('+'»)- - i).^'. (!-» ')-' . dx 

 -v.p + Yv.(i +P *)-i 



/ß . (x*-i) . (p-W.(i-i-pi)-i) 



(- ^ 3 • P + ^ • (i +P 1 ) - i) • Vi? . (l-r^'j- 1 



dp 



oder, indem man diese ganze Gleichung mit (p — V X- . (1 +jp 2 ) — l) dividirt, 

 335) 



VA*.(1 +p*)-l 



<£e +■ 



/* . (/.*— 1) . a: 



_ /.' . ? + v» . (l+j^j _ i (_ a* .j + f^ . (i+i>*) - ij . n* . (i +P-) - 1 

 = ±X.k. — ! . ^ r-^^TJ+g^ T_\ 



1) - KA* . (l+l)*) - 1 V - # • *> + ™ a ( 1 +1>-) ~ x / 



cZp 



Diese Gleichung ist integrabel, und liefert ohneweiters 

 336) 



Yv. (l . rp * ) - 1 



-&.p + Y?ß.(i-,-p*)—i " ~ ~ l ' " ' \-X*.p+Yx*.(i + p*) — i J (p — VI* . (i +p*) - i) . Yx* .(l+p-) 

 Nun multiplicire man Zähler und Nenner des noch nicht integrirten Theilsatzes mit 

 [p +■ VX~ . (1 +p'') — ■ l), so bekommt man 



i-r^)-i Tili 1 f 



- ,x = L + X . k . I — 4- / , 



^■(1-rP 2 ) — l \-P.p+VX*.{l+p*)-l J {p— ^A*.(l- 



i) 



(^ _ ^x* . (l+i)*) - l) . f/Mi-ri^-i 



A* 



— 1 



= — Trzrr • ( ar ctgp + arctgVT . (l+p.) — l) 



+ 



dp 



4- 



i> . rf? 



i + p 2 (i+i)*) . VA* . (l+i)*) 



t) 



T . arc tg 



P + YX*. (1-M>*) - l 



,- . arc ter 



„_.r- arct g 



l—p . YX* . [l + pi) — l 



A* 1 



_A*.l) + yu*.(l+p*)-l 



-(#-1) 



■ x*.p + Yx*. (Wp-)-i 



