Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 279 



Wenn man ebenso die betreffenden Ausdrücke in Gleichung- 338) substituirt, so geht diese 

 über in 



oder, wenn man Alles mit — (A 2 — 1) multiplicirt, in 



347) ^ULL± . y = _ ( ^_1) .I-^TAJ. (} -arctg f) 



Endlieb setze man nocb Jv anstatt (A 2 — 1) . L, so fallen die Gleichungen 346) und 347) genau 

 mit 324) und 325) zusammen, wie zu beweisen war. 



Dritte Methode. Man kann das einfach singulare Integral auch gewinnen, wenn man 

 bei Gleichung 309) den ersten Factor zu Null werden, d. h. wenn man die Gleichung 



348) — v . y + x + (1 4-ü 2 ) . {v + p) . % = 

 gelten lässt. Daraus folgt 



und wenn man diesen für (v+p) . ~ hergestellten Ausdruck in Gleichung 308) substituirt, 



dz 



tur (v+p) . 

 so geht diese über in 



(jj + v . af = (l + '•-) . fc 2 

 und daraus folgt 



350) y 4- v . x = + k . Vi -r >' L 



Nun muss man untersuchen, ob von 350) auch den beiden Gleichungen 308) und 348) zu- 

 gleich genügt wird, und ob das zu 350) gehörige Integral ein einfach singuläres oder nur 

 ein einfach parti ciliares ist. Weil aber die Gleichung 350) mit 326) zusammenfällt, so ist 

 auch der weitere Verlauf dieser dritten Methode ganz derselbe, wie bei der zweiten. 



Zusatz. Wenn man die hier (§. 19) befindlichen refractorischen Besultase dadurch, dass 

 man A = — 1 setzt, in die reflexorischen (§. 9) verwandeln will; so hat dieses bei der ersten 

 Methode keinen Anstand. Bei der zweiten Methode aber bekommen die Gleichungen 332), 

 333) etc. Null in den Nenner. Man muss also — 1 statt A schon in Gleichung 331) einsetzen, 

 und erst dann darf man integriren, wodurch man wieder zu den Resultaten gelangt, wie bei 

 der zweiten Methode des §. 9. 



Zweiter Abschnitt. 



Bestimmung der Refractions-Curven für von einem leuchtenden Punkte herkommende Lichtstrahlen. 



§• 20. 



Man sucht diejenige Eefractions-Curve, bei welcher die von einem leuchtenden Punkte 

 herkommenden Lichtstrahlen so gebrochen werden, dass die Diakaustika sich in einem ein- 

 zigen Punkt (Brennpunkt) zusammenzieht. 



Man richte das Coordinatensystem der gesuchten Eefractions-Curve so ein, dass die 

 Abscissenaxe durch den leuchtenden Punkt geht; und wenn dabei die Coordinaten des vor- 



