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geschriebenen Brennpunktes die festen Werthe g und h haben, so specialisiren sich für die- 

 selben die Gleichung 9) und 10) bezüglich in 



351) B = * + (»+*)■-£ 



und 



dv 



352) i) =y — v . (v+p) 



und jede Curve, welche diesen beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich 

 genügt, hat die in der Aufgabe verlangte Eigenschaft. 



Das nächste Geschäft ist nun, eine erste Starurugleichung aufzusuchen, welche diesen 

 beiden Differentialgleichungen zweiter Ordnung zugleich genügt; und wenn man hier wie in 

 §. 15 verfährt, so bekommt man 



353) (>-B) + (x— g) . v = 



Diese erste Stammgleichung enthält keinen Integrations-Constanten; denn nur so kann sie, 

 wie man bereits in §. 15 ersehen hat, den beiden vorgelegten Differentialgleichungen 351) 

 und 352) zugleich genügen. Um aber die Aufgabe weiter durchführen zu können, muss mau 

 für v den in §. 3 befindlichen Ausdruck 12) 



- ((-g-g) + v • p) • p + V & ■ {(x-9) 2 + y 2 ) ■ (i+p 2 ) - {(*-9 ) + y -pf 

 + ((*-?) + v ■ p) + p ■ V & . ((*-*)* + r'j • (i +p-) - ((*-») + y ■ pf 



in welchem durch g die Abscisse des leuchtenden Punktes dargestellt ist, zurückführen. Dabei 

 geht Gleichung 353) über in 



354) [{x— g) . p — (y—l))) ■ [( x—g) + y p) 



= ((»— S) + (y-W • P) ■ \? . ({x-gf 4- if) . (1+ir) - {{x- g) + y . pf 



Nun erhebe man beiderseits auf das Quadrat, so ergibt sich eine Gleichung, welche man auf 

 folgende Weise anordnen kann : 



((*— 8)' 2 + (y— W) ■ {( x ~9) + y -pf- (1 +P 1 ) = ((»— ß) + (y— $) -rf- * 2 - (l +f) ■ {(x— gf + y 2 ) 



und daraus folgt weiter 



(x—g) + y ■ p .. (»— g) + (</-()) • p . 



355) r": , + x 



Diese Gleichung lässt sich ohneweiters integriren und liefert 



356) V(x-gf + f + X . V{x- % f 4- (y_$)« = 6? 



Das den Differentialgleichungen 351) und 352) gemeinsame Urintegral ist hier nur mit einem 

 und nicht mit zwei Integrations-Constanten versehen. Die Ursache ist schon bei Gleichung 

 207) angegeben. 



Die hier gefundene Refractions-Curve ist im Allgemeinen eine Curve des vierten Grades, 

 welcher sich aber auf den zweiten erniedrigt , wenn G = ist. 



Um jedoch der Gleichung 356) eine geometrische Bedeutung abzugewinnen , beachte 

 m an, dass der Ausd ruck V (x — gf + y 2 der vom leuchtenden Punkte , und dass der Ausdruck 

 V (x — Qf -f- (y — h) 2 der vom vorgeschriebenen Brennpunkte (g, fy nach irgend einem Punkte 



