Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 281 



der gefundenen Refractions-Curve gezogene Leitstrahl ist. Unsere Curve hat also in jedem ihrer 

 Punkte die Eigenschaft, dass die zwei zusammengehörigen Leitstrahlen in einer von den Coor- 

 ilinaten unabhängigen Beziehung zusammen stehen. 



Zusatz. Die für die Eefraetions-Curve gefundene Gleichung 356) geht, wenn man 

 A = — 1 setzt, wieder über in die für die Reflexions-Curve gefundene Gleichung 159). Als- 

 dann darf aber, wie schon (in §. 10) auseinandergesetzt ist, bei dem Doppelzeichen nur das 

 obere genommen werden. 



§. 21. 



Man sucht diejenige Refractions-Curve, bei welcher die von einem leuchtenden Punkte 

 herkommenden Lichtstrahlen so gebrocheu werden, dass ihr eine bestimmt vorgeschriebene 

 Curve als Diakaustika zukommt. 



Auch hier richte man das Coordinatensystem so ein, dass die Abscissenaxe durch den 

 leuchtenden Punkt geht; und wenn sich dann für die vorgeschriebene Diakaustika die 

 bestimmte Gleichung 



357) S(t,b) = 



ergibt, so hat man für £ und ty die Ausdrücke 9) und 10) einzuführen; und man bekommt für 

 die gesuchte Refractions-Curve folgende Differentialgleichung der zweiten Ordnung 



358) g \(x + (v +p)-~), (y - v . (v +p) . £)j = 



Man bediene sich auch hier der schon im §. 16 angewendeten Abkürzungszeichen Q und R, 

 und differentiire 358); so bekommt man auch hier 



■m tif -•' ■-£) ( 2 + 1 •£-(»+*) ■-£•) = <> 



Dieser Gleichung wird aber genügt, entweder wenn 



360) 2 + f .*_(,+!>). ■£■ = <> 



oder wenn 



361) M. — V .M- = Q 



' dQ du 



Die Differentialgleichung 360), welche von der dritten Ordnung ist, führt hier ebenso, wie in 

 §.16, zu folgender Verbindung zweier Gleichungen: 



362) 3 (A, B) = 

 und 



363) (y—B) + (x—Ä) .v = 



Die Verbindung dieser beiden Gleichungen ist die erste Stammgleichung zu 358); und weil 

 A und B in der durch 362) ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man 

 entweder A oder B aus 363) eliminiren, wodurch man eine erste Stammgleichung mit nur 

 einem Integrations-Constanten bekommt. 



Denkschriften der mathem.-natuturw. Cl. XX. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgliederu. II 



