■2S-2 G. II'. Strauch. 



Um nun die Gleichung 363) weiter behandeln zu können, muss man für v den im §. 3 

 befindlichen Ausdruck 12) zurückführen; und dabei geht 363) über in 



364) ({x—A) .p — (y—B)) . ((x—g) + y . p) 



= {(x-A) + (y-B) . P ) . ]fjp . [{x-gf 4- f) . (1+f)- {(x-g) + y . pf 



Mit dieser Gleichung verfahre man jetzt weiter, wie mit Gleichung 354) in §. 20; so bekommt 

 man die Urgleichung 



365) V{x~gf +tf+X. V\x—Af + {y—Bf = G 



Hier erscheinen sogar drei Integrations-Constanten A, B, G, während die vorgelegte Differen- 

 tialgleichung 358) nur von der zweiten Ordnung ist. Weil jedoch A und B in der durch 362) 

 ausgesprochenen Abhängigkeit zu einander stehen, so kann man entweder A oder B eliminiren, 

 und eine Urgleichung mit nur zwei Integrations-Constanten herstellen. 



Vergleicht man jetzt die Gleichungen 357) und 362) mit einander, so erkennt man, dass 

 zwischen A und B dieselbe Eelation stattfindet, wie zwischen £ und ty. Man kann also statt 

 der Integrations-Constanten A und B auch die zur vorgeschriebenen Diakaustika gehörigen 

 Coordinaten £ und t) setzen; und dabei geht 365) über in 



366) V(x-gY + y 2 + l. V(x—?f + (y-t)f = G 



Die hier gefundene Gleichung stellt also im Allgemeinen Curven des vierten Grades dar, 

 welcher sich aber auf den zweiten erniedrigt , wenn G = ist. 



Vergleicht man die (im §. 20 befindliche) Gleichung 356) mit der hier gefundenen 

 Gleichung 366), so erkennt man, dass, wie sich dort die gebrochenen Lichtstrahlen in dem 

 vorgeschriebenen Brennpunkte (g, b) concentriren mussten, hier die gebrochenen Lichtstrahlen 

 sich im Brennpunkte (r., ty) concentriren, d. h. jeder einzelne Punkt der hier vorgeschriebenen 

 Diakaustika % (^*, ty) = ist ein Brennpunkt zu irgend einer der durch 366) dargestellten 

 Curven. Somit ist unter allen diesen Curven keine einzige im Stande, von der vorgeschrie- 

 benen Diakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, d. h. keine einzige der hier gefundenen 

 Curven ist die gesuchte Befractions-Curve. Man muss also untersuchen, ob unter den, durch 

 366) dargestellten, unendlich vielen Curven -Schaaren solche Beihen stetig nebeneinander 

 liegender Curven vorkommen, die sich so schneiden, dass dieDurchsclinitts-Curven auch noch 

 der Differentialgleichung 35S) genügen, und zugleich in allen ihren Punkten mit irgend einer 

 der sich schneidenden Curven eine Berührung der zweiten Ordnung eingehen. Alle diese 

 Durchschnitts-Curven sind also Gränz-Curven der zweiten Ordnung, und werden, wie in der 

 analytischen Geometrie näher nachgewiesen werden muss, durch das einfach singulare 

 Integral dargestellt. Dieses kann bekanntlich auf drei verschiedenen Wegen ermittelt werden. 



Erste Methode. Wenn man das einfach singulare Integral aus dem allgemeinen 

 ableiten will, so beachte man, dass die Integrations-Constanten von x und von y unabhängig 

 sind bei allen sich schneidenden Curven; und wenn man in dieser engen Beziehung die 

 Gleichung 366) differentiirt , so bekommt man 



*^-\ äy * . (a— j) . V{x— g) s + y 2 + (*— g) . ^{a>s)* + {y— tjif 



dx * ■ (.'/-«) • V(*-9? + y- + // • *'<■■ ■"!•>- + (y— 9) 2 



