Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 283 



Dagegen müssen die Integrations-Constanten Functionen «von sein bei allen Gränz-Curven; und 

 wenn man in dieser weiteren Beziehung die Gleichung 366) nach allem x differenriirt , so 

 bekommt man jetzt 



** ~ l • Cm) • *'(»-?)* + 2/ 3 + y • f(*-ö» + (y-W 2 



/l . (a-j) . f^ I^S + 2/ 2 + 2/ • ^(«-I) a + Ü/-9) 2 



Damit aber aus 367) und 36s) sich für -~ zwei ebenförmige Ausdrücke ergeben können, muss 

 die Gleichung 



369) X • ((y-l,) • -| +■ (*-r)) . i + {V\x-tf + (y- 9 ) s ) . f = 



stattlinden. Differentiirt man die Gleichung 367) noch einmal sowohl nach allem explicit als 

 auch nach allem implicit in y, £, i) enthaltenen x\ so bekommt man neben der Gleichung 369) 

 auch noch 



370) 



X . (0/-r;) - (x-fi . g) . ((x-g) . (x-f) + y . (y-t)) + [V(x-g) a + y 2 ) . V{x-tf + ty-<tf) . | = 

 Daraus kann aber nur folgen 



371) (M>) - C"-je) ■ -£ = 



und hiermit wird diejenige Grade dargestellt, welche durch den Punkt (x, y) der gesuchten 

 Refractions-Curve geht, und zugleich die zum Punkte ():,*)) der vorgeschriebenen Diakaustika 

 gehörige Tangente ist. Jede Diakaustika ist ja, wie schon im §. 1 auseinander gesetzt wurde, 

 eine einhüllende Gränz-Curve. 



Eliminirt man jetzt mittels 371) die Differenz (y — t)) aus 369), so fällt auch die Differenz 

 (x — je) hinweg; und 369) geht über in 



X . (dp + dt) 2 ) + (Vdf -tdtf). dG = 

 oder in 



X.Vdf-\-dt) 2 + dG = 

 Daraus folfft 



'ö 



dG = ± X . Vdf + dtf 

 oder 



372) G = K + X . fVdf -f d\f 



wo K ein Integrations-Constanter ist. Gleichung 366) geht also über in 



373) V{x— gf + f + X . V{x-y:f + (y— r/f = K ± X . fVdf + dtf 



Mit dieser Gleichung, wo bei den Doppelzeichen durchweg die oberen und ebenso durchweg 

 die unteren zusammengehören, muss man aber noch folgende drei 

 371) (t/-i ? )-( a ;-r).-|L = 



357) 8(jc,9) = 



374) /v + dt) ' rfj- 



II* 



