Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 285 



Dritte Methode. Lässt man die Gleichung 361), d. h. die Gleichung 



380) Ä_ t ,.Ä = 



gelten, so hat man jetzt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung; und man muss eine 

 solche der ersten Ordnung aufsuchen, von welcher die beiden Gleichungen 358) und 380) 

 zugleich erfüllt werden. Die hier aufzusuchende Differentialgleichung erster Ordnung wird 

 aber genau wieder die Gleichung 379) sein, durch deren Integration sich also auch die näm- 

 liche mit x, y und dem Integrations-Constanten K versehene Urgleichung ergibt, wie bei der 

 zweiten Methode. 



(Man vergleiche die dritte Methode in §. 17, §. 18, §. 19.) 



Anmerkung. In speciellen Fällen werden durch die zweite und dritte Methode grosse 

 Weitläufigkeiten veranlasst; und desshalb sollen die in §. 22, §. 23, §. 24 nachfolgende Bei- 

 spiele nur nach der ersten Methode ausgeführt werden. 



Zusatz. Alle hier (§. 21) befindlichen refractorischen Resultate gehen, wenn man 

 A = — 1 setzt, in die reflexorischen (§. 11) über. Alsdann dürfen aber, wie schon (in §. 10 

 und §. 11) auseinander gesetzt ist, bei den Doppelzeichen nur die oberen genommen werden. 



§. 22. 



Beispiel 10. Man sucht diejenige Refractions-Curve, bei welcher die von einem leuchten- 

 den Punkte herkommenden Lichtstrahlen so gebrochen werden, dass die zugehörige Diakau- 

 stika die durch die Gleichung 



381) t) 3 = h.f 

 vorgeschriebene semikubische Parabel ist. 



Hier ist (nach §. 21) das allgemeine Integral durch die Verdindung der folgenden zwei 

 Gleichungen 



382) B 3 =h.A 2 

 und 



383) V(x-gf 4- f + X . V{x-Af + (y-Bf = G 



oder, was dasselbe ist, durch die Verbindung der folgenden zwei Gleichungen 



384) tf = h.f 



IHK 



a 



385) V{x— gf + y 2 + X . V \x— r.) 2 -f {y— r,) 2 = G 



dargestellt, d. h. jeder einzelne Punkt der vorgeschriebenen Diakaustika t) d = h.'f ist ein 

 Brennpunkt zu irgend einer dieser Curven. Keine einzige derselben ist jedoch im Stande, 

 von der vorgeschriebenen Diakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, d. h. keine einzige 

 derselben ist die gesuchte Refractions-Curve, welche, als Gränz-Curve der zweiten Ordnung, nur 

 durch ein einfach singuläres Integral dargestellt werden kann. Zu diesem Ende specialisiren 

 die Gleichungen 371) und 373) sich diesmal in 



386) (y-t)) - (x-$ . ± = 



und 



ih 



387) V(x-gf T?T l.V{x-ff + (y-tf =K±X(± + £~). Vdf + Üf 



