Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 287 



und man kann die hier gesuchte Refractions-Curve mittels der Coordinaten der vorgeschrie- 

 benen Diakaustika construiren. 



Zusatz. Alle «hier (§. 24) befindlichen refractorischen Resultate gehen, wenn man 

 X = — 1 setzt, in die reflexorischen (§. 1-4) über. Alsdann dürfen aber bei den Doppelzeichen 

 nur die oberen genommen werden. 



NACHTRAG. 



§. 25. 



Schon in der Einleitung (§. 1) wurde mittels geometrischer Betrachtung nachgewiesen, 

 dass einer graden Linie niemals die Eigenschaft einer Brennlinie zukommen könne. Nun soll 

 auf analytischem Wege nachgewiesen werden, dass, wenn eine grade Linie als Brennlinie 

 vorgeschrieben wird, weder eine Reflexions- noch eine Refractions-Curve existirt. 



§. 26. 



Man sucht diejenige Reflexions- Curve, von welcher die Lichtstrahlen so zurückgeworfen 

 werden, dass ihr die durch folgende Gleichung 



394) t) = m . r. + 31 



vorgeschriebene Grade als Katakaustika zukommt. 



Wenn man (aus §. 2) für r und i) die Ausdrücke 2) und 3) hier einführt, so bekommt 

 man für die gesuchte Reflexions-Curve folgende Differentialgleichung zweiter Ordnung 



395) y — mx — 21 + (u — m) . (u — p) 



dx 

 du 



um m 



Erste Auflösung. 



Um letztere Gleichung direct zu integriren, multiplicire man sie mit du; so setzt sie sich 



396) m . dy — mu . dx — mx . du — u . dy 4- u 2 . dx 4- y . die — 51. du = 

 Man addire die identische Differenz 



u . x . du — u . x . du 



so bekommt man weiter 



397) (to — u) . [dy — u . dx — x . du) -f (y — ux — 21) . du — 



Diese Gleichung wird integrabel durch den Multiplicator ^^5 denn dabei geht sie über in 



oqq\ ("' — ") • {dy — u ■ dx — x . du) -f- (y — ux — Si) . du ., 



' (JB — V)- 



