Das umgekehrte Problem der Trennlinien. 28! 



Weil nun bei jeder Elimination des Bestandtheiles \) auch x mit hinwegfällt, so ist es unmöglich 

 zwischen der als Katakaustika vorgeschriebenen Graden und zwischen einer als Reflexions- 

 Curve gesuchten Curve irgend eine Eelation herzustellen. 



„Es existirt also bei parallel auffallenden Lichtstrahlen keine Reflexions-Curve. welcher 

 eine grade Linie als Katakaustika angehört." 



Zweiter Fall. Wenn die auf die gesuchte Reflexions-Curve auffallenden Lichtstrahlen 

 von einem leuchtenden Punkte herkommen, so muss man (aus §. 2) für u den Ausdruck 5) 

 einsetzen; und dabei geht Gleichung 400) über in 



409) (,/ — (m . .1-21)) . (2yp + (x—g) . (1— p*)) = (x—A) . {2{x—g).p^y . (1—p 3 )) 



Mit dieser Gleichung verfahre man jetzt weiter, wie mit Gleichung 155) in §. 10 ; so bekommt 

 man die Urgleichunff 



410) Vü^-gf + if +V(y— Ki+2t)) 2 - [x—Af = G 



wo A und G die zwei Integrations-Constanten sind. 



Hier müssen beide Radicale als positiv genommen werden, weil, wie in §. 10 und in 

 §.11 nachgewiesen ist, die konischen Hyperbeln nicht beachtet werden dürfen. 



Setzt man x statt A, so geht letztere Gleichung über in 



411) Vix—gf + tf 4-y [y— {m ■ X + 51))" + («— t? = G 



oder, wegen Gleichung 394), in 



412) V(x— gf 4- tf 4- V(y—^f + ix— r) 2 = Q 



Dadurch sind aber alle jene unendlich vielen Sehaaren konischer Ellipsen dargestellt. 

 deren einer Brennpunkt der leuchtende Punkt sein muss, und deren anderer Brennpunkt 

 jeder in der als Katakaustika vorgeschriebenen Graden 394) liegende Punkt sein kann. Nun 

 ist bereits (in §. 11) auseinander gesetzt, dass keine einzige der hier gefundenen Ellipsen im 

 Stande ist, von der vorgeschriebenen Katakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, und 

 dass man, um zur gesuchten Reflexions-Curve zu gelangen, die Gränz-Curve der zweiten 

 Ordnung aufsuchen müsse. Zu diesem Ende gehen die in §.11 befindlichen zwei Gleichungen 

 175) und 177) diesmal über in 



413) (y — t)) — (x— x) . m = 

 und 



414) V(x—gf + tf 4- V(y— i)) s + (Xr-tf = K — X . VI 



m~ 



Eliminirt man die Differenz (y — X)) aus 413) und 414), so bekommt mai 



V(x— gf + tf + (x— je) . V1 + m* = K — r. . VI + m 1 

 oder 



415) V{x— gf + tf + x.V 1 +m- = K 



Eliminirt man ferner den Bestandteil X) aus 394) und 413), so fällt auch x mit hinweg; und 

 es bleibt nur 



4 1 6j y = mx + 5[ 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. "XX. Bd. Abhamll. v. Nichtmiigliedern. miI i 



