Das umgekehrte Problem der Brennluven. 291 



Der Integrations-Constante A ist also weggefallen, ohne dass er irgend eine Bestimmung 

 gefunden hat; und daraus folgt, dass u = m nicht die Differentialgleichung zu einem einfach 

 singulären Integral ist. Somit erkennt man zum zweiten Male, dass keine 

 Reflexion s-Curve existirt, welch er eine grade Linie als K atakau st ika an gehört. 



Man sucht diejenige Refraetions-Curve, von welcher die Lichtstrahlen so gebrochen 

 werden, dass ihr die durch folgende Gleichung 



427) \) = m.{+ 21 



vorgeschriebene Grade als Diakaustika zukommt. 



Wenn man (aus §. 3) für r. und t) die Ausdrücke 9) und 10) hier einführt, so bekommt 

 man für die gesuchte Refractions-Curve folgende Differentialgleichung der zweiten Ordnung 



428) y - mx — « — (»+«) • (v+p) . -g- = 



Erste Auflösung. 



Um letztere Gleichung direct zu integriren, multiplicire man .sie mit r/r, und sie setzt 

 sich um in 



429) m.dy -f m/v. dx + mx.dv -f- v.dy -f v 2 .dx — y . dv 4- S J[ . dv = 

 Man addire die identische Differenz 



v . x . dv — v . x . dv 

 so bekommt man weiter 



430) (v + m) . {dy -\- v . dx + x . dv) — (y -j- vx — 21) . dv = 



Diese Gleichung wird integrabel durch den Multiplicator ä ; denn dabei geht sie über in 



i<ii\ (v + m) . (dy +o . dx -f x . dv) — (y+vx—%) . dl- 



' (v-\-m) 2 



und daraus folgt durch Integration 



432) _y +^-a = A 



oder 



433) [y — (mA -(- 31)) + (x—A) . v = 



Um nun diese Differentialgleichung erster Ordnung weiter behandeln zu können, muss man 

 unterscheiden, ob die auf die gesuchte Refractions-Curve auffallenden Lichtstrahlen mit einan- 

 der parallel laufen, oder von einem leuchtenden Punkt herkommen. 



Erster Fall. Wenn die auf die gesuchte Refractions-Curve auftauenden Lichtstrahlen 

 mit einander parallel sind, so muss man (aus §. 3) für v den Ausdruck 11) hier einführen; und 

 dabei geht Gleichung 433) über in 



434) [x—A).p — {t, — (mA + $j) + [[x—A) + (tf—(mA+Wj).p] . V F . (1 +F>-1 = 



