Das umgekehrte Problem der Brennlinien. 293 



Zweiter Fall. Wenn die auf die gesuchte Refractions-Curve auffallenden Lichtstrahlen 

 von einem leuchtenden Punkte herkommen, so muss man (aus §. 3) für v den Ausdruck 12) 

 einführen; und dabei geht Gleichung 433) über in 



442) hx—Ä) . p — (y — (Wl + 21)) . [{x— g) 4- y . p] 



= j(x— A) + (y -- (mA + %)) . p\ . \fk 2 . [l+f) . {{x-gf + f) - {(x-g) 4- y . p\ 



Mit dieser Gleichung verfahre man jetzt weiter, wie mit Gleichung 354) in §. 20; so bekommt 

 man die Urffleichung' 



443) y/ix— gf 4- f + X . Y(x— Äf + [y — (mA^Wfi -.= G 



wo A und G die beiden Integrations-Constanten sind. Setzt man r. statt A, so geht letztere 

 Gleichung - über in 



444) v/(x— y) 2 4- y 2 + ; . \/'(a;— y)" + (?/ — (*» . je + 21))' = G 



oder, wegen Gleichung 427), in 



445) V(x— gf + y 2 + A . l/(x— jcj ä + (y— ^)' J = G 



Die hier gefundene Gleichung ist im Allgemeinen eine des vierten Grades, welcher sich aber 

 auf den zweiten erniedrigt, wenn G = 0. 



Vergleicht man die im §. 20 hergestellte Gleichung 356) mit der hier gefundenen Glei- 

 chung 445), so erkennt man, dass, wie sich dort die gebrochenen Strahlen in dem vorge- 

 schriebenen Brennpunkte (g, b) concentriren mussten, hier die gebrochenen Strahlen sich im 

 Brennpunkte (r, ty) concentriren, d. h. jeder einzelne Punkt der hier als Diakaustika vorge- 

 schriedenen Graden 427) ist ein Brennpunkt zu irgend einer der durch 445) dargestellten 

 Curven. Nun ist bereits (in §. 21) auseinandergesetzt, dass keine einzige der hier gefundenen 

 Curven im Stande ist, von der vorgeschriebenen Diakaustika mehr als einen Punkt zu erzeugen, 

 und dass man, um zur gesuchten Eefractions-Curve zu gelangen, die Gränz-Curven der zweiten 

 Ordnung aufsuchen müsse. Zu diesem Ende gehen die in §.21 aufgestellten zwei Gleichungen 

 371) und 373) diesmal über in 



446) (y— 9) — (x— r) . m = 

 und 



447) V{x— g y + f + k . V{x—^f + (y—^f = K ± k . je . Vi 



Eliminirt man die Differenz (y — ty) aus 446) und 447), so bekommt man 



Hl' 



^( x —gf + tf + * • (a— je) . Vi + m 2 = K ± k . £ . Vi -h m- 

 oder 



448) V(x—gf -r y 2 + k.x .Vi + nf = K 



