38 Anton Winckler. 



Die in zahlreichen Abhandlungen zerstreut vorkommenden Resultate, welche sich auf 

 die in Rede stehenden Functionen beziehen , werde ich , wo es ihrer bedarf, entweder als 

 bekannt voraussetzen oder durch neue Verfahrungsarten direct ableiten, in allen Fällen aber 

 bereits bekannte Resultate als solche ausdrücklich bezeichnen. 



Die allgemeine Form der Kugelfunctionen einer Veränderlichen ist durch die 



Gleichung 



1.3.5. .(2»-l) ( _ n («-!) 2 „(„-!) ( M -2)(«-3) _ 

 " — 1.2.3...« ( 2(2«— 1) 2.4.(2»— 1) (2«— 3) 



gegeben und für alle positiven Werthe von n bestimmt; auch für n = kann man den Werth 



von X angeben, es ist nämlich A'„ = 1. Für manche Betrachtungen ist es jedoch zweckmässig, 



die Bedeutung von X n auch für negative ganze Werthe von n festzustellen. So wie X„ als 



i 

 Coefficient von z n in der Entwickelung von (1 — 2xz -f s 2 ) - ^ nach positiven Potenzen von z 



definirt worden ist, so sei nun X__„ der Coefficient von z~" in der absteigenden Entwickelung 



oder also 



1 = X_ x z~' + X^fT* + X_ 3 z-' + . .+ X_„z-» + A_„_, s — 4- . . . . 



) 1 — 2xz-\-z- 



und es handelt sich jetzt darum, die Coefficienten dieser Entwickelung durch jene der früheren 

 zu bestimmen. Dies geschieht sehr leicht, wenn man bemerkt, dass, wenn in der aufsteigenden 



— für z gesetzt wird, dieselbe in die folgende 



Z 



= A>-' + X,z~ 2 + A>" 3 4- . . 4- X^z- f X.z-- 1 -f .... 



|/1 — 2a*s + s 



übergeht und dass, wenn man nun diese beiden letzteren absteigenden Entwickelungen ver- 

 gleicht, die gesuchte Relation 



A_„ = X„_j oder A' + „ = X_ (i , +1) 



sich ergibt. 



Die Grenzen , zwischen welchen sieh die Zahlenwerthe von X„ befinden , sind in der 

 Regel diejenigen, für welche x = — 1 und x = 4- 1 ist, und es ist bekannt, dass 



A„ = 4- 1 ftiras = 4- 1 und X„ = ( — 1)" für .r = — 1 



Ich füge hinzu, dass X n = für x = 0, wenn n eine ungerade Zahl ist, dagegen 



X„ = ( — l) a — —^ — — für x = 0, wenn n eine gerade Zahl ist. 



2. 



Die gemeinschaftliche Quelle der wichtigeren Eigenschaften der Function X„ bilden die 

 Gleichungen, welche sich zwischen den partiellen Differentialquotienten sowohl der ersten als 

 der zweiten Ordnung der Function 



_ i 



u = (1 --2xz 4- s 2 ) ? =IjI l2 +I^+...+ X n z" + . . . 



