Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 39 



bezüglich der Grössen x und z aufstellen lassen. Diese Gleichungen hat bereits Legendre 

 a. a. 0. benutzt, ohne aber alle Eesultate, welche sie zu liefern im Stande sind, daraus zu ziehen. 

 Wie man leicht einsieht, ergibt sich durch partielles Differentiiren 



du du 



— = [x— z) u s , -~ = zu i 



dz dx 



d~u , du d 2 u . du 



- = - u 4- ou- (x-z) - , - = Zzu- ~ 



d 3 u du 



—— = u" + Zuz—. 

 d.rds dz 



Zieht man zuerst die Uifferentialquotienten erster Ordnung in Betracht, so gelangt man 



zu der Gleichung 



1 du 

 — . — - = Ix — z) u 



aus welcher sich, da rechter Hand 



1 



ir 



1 — 2xz -f z 1 



und linker Hand für u die entsprechende Reihe gesetzt werden kann, weiter die Gleichung 



(1 _2;r^ + r)[X, + 2zX 2 + StfX, f . . . + nz'-'Ä, t + . . ]=(x—z)[X + X t z + Xr + . . . + X a z» T ..] 



ergibt, die sofort nur bestehen kann, wenn 



nX n - 2 (»— 1) ;rA'„_, + (n— 2) X n _, = ,rA;_, -- A„_._, 



ist. Wie man bemerkt, lässt sich diese Bedingung unter verschiedenen Formen darstellen, 

 welche der späteren Anwendung wegen angeführt werden mögen. Dieselben sind : 



nX n — (2W4-1) xX^ + (n— 1) A'„_ ä = 



Y — n Y " + 1 y 



'^» — 2n +l "- 1 + 2n+l " + 1 



.rA'„ — Z„_, = ^— ■ (A'„.. M — A„_,) oder n (xX n —X nr ^ 1 ) +■ (n+ 1 I (xX n —X n+1 ) = 



Sie stellen insgesammt die bekannte Beziehung zwischen drei auf einander folgenden Func- 

 tionswerthen dar. 

 Da ferner 



1 du 

 u dx 



so folgt in ähnlicher Art wie oben die Gleichung 



(1-2WF + [^ +*^r + * 2 ~ + • • • + ^ + • •] =4^o f A>+ A> 2 -f .. +A„s«+ ..] 



welche nur unter der Bedingung bestehen kann, dass 



<^Y i+1 «Ali ^A„_] 



