40 Anton Winckler. 



oder 



d {X„ +1 -\-X a _{) . dXn 



dx dx 



ist. — 



Verbindet man die beiden bisher benutzten Differentialquotienten unter gleichzeitiger 

 Elimination von u z mit einander, so entsteht die Gleichung 



du du 



^~^ -dx = Z lU 



welche durch Einführung der Reihenform in 



(«)[^+.^+^+-+'^+-]=.[*+«^.+'w*+.. + -Mi: + ..] 



übergeht und als noth wendige Bedingung fordert, dass 



dX„ dX„_i 



x— -z — = nA„ 



dx dx 



Man kann derselben eine andere Gestalt geben, wenn man bemerkt, dass der Ausdruck 



linker Hand, nämlich 



dX„ c?-Y„_i d (xX n — Xn-J 



dx dx dx 



und also mit Rücksicht auf weiter oben gefundene Relationen 



d (xX„ — Ä 



dx ' ~ [U+ } " "" 2«+ 1 \~faT dx ) 



Die hierin enthaltene Gleichung 



" (-^B+l '1 » — 1 ) 



dx 



(2n+l) X n 



welche für die vorliegenden Betrachtungen von besonderer Wichtigkeit ist, wurde meines 

 Wissens zuerst von Christoffel in der Abhandlung über die „Gauss'sche Quadratur" 

 (Crelle, Journal Bd. 55, S. 67) jedoch auf einem von dem obigen verschiedenen Wege gefun- 

 den. — Es ist nicht ohne Interesse, dazu auch noch auf einem andern Wege und zwar direct 

 von der Darstellung der Function X n aus zu gelangen, welche zuerst Ivory und später auch 

 Jacobi (Crelle, Journal Bd. 2, S. 224) fand, und wonach 



1 d n (x"—l) n 



^ " ~ 2. 4... 2m ' dx» 



ist. 



Differentiirt man diese Gleichung, so erfolgt: 



dX n 2m d".x (x 2 — l)"- 1 



~dx ~ 2. 4... (2h— 2) ' dx" 



oder, wenn man eine der angezeigten Differentiationen in der Tbat ausführt: 



dX n _ 1 d"- 1 [(V— l)«- 3 (V— 1 + (2n—2)x-)} 



~dx ~ 2. 4.. (2m— 2) ' dx»- 1 



