Über einige neue Eigenschaften der Kugel functionen einer Veränderlichen etc. 41 



folglich , wenn man den Ausdruck rechter Hand in zwei Theile zerlegt 



dX„ _ 2n — l d n ~ 1 .(x i —l) n - i 1 d'- 1 (V — 1)"-- 



Hä ~~ 2 (2m— 2) dx— 1 2. 4... (2m— 4) ' " ,/.<.•"- » 



Daraus ergibt sich nun ohne Weiteres die Gleichung 



welche mit der oben erhaltenen zusammenfällt. 



Setzt man nun in derselben nach einander n — 2, n — 4, n — 6, . . für n und addirt dann 

 alle sich daraus ergebenden Gleichungen, so wird man finden: 



Wenn n gerade 



^ = (2n— 1) A^ + (2n— 5) A;_ 3 + (2rc-9) X„_ 5 + ....+ 3A X 



Wenn w ungerade 



^ = (2„_1) AU + (2n— 5) A;_3 + (2»— 9) X„_ 5 + . . . + 5X + 1 



welche Gleichung sich ebenfalls in der oben bezeichneten Abhandlung, ohne die Unterschei- 

 dung ob n gerade oder ungerade ist, angeführt findet. 



Mit Rücksicht auf die weiter oben erhaltene Gleichung 



dX n dX n _ x 

 x — = nX n H — 



ax ax 



ergibt sich hieraus auch die Relation 



x ^ = nX n + (2n— 3) Z„_ 2 + (2*— 7) A'„_ 4 + (2n-l 1 ) A'„_ fi + . . . . 



Von den Gleichungen zwischen höheren Differentialquotienten lässt sich die folgende 

 hervorheben. Differentiirt man nämlich die oben gefundene Gleichung 



dX n+i dX„ dX n -i 



-dx-- 2X ^x~ + -^ =A » 



(r — l)mal nach einander, so ergibt sich 



d'Xn+i drX n d r X n _, d'-'X,, 



~},x -4- = i'lr 1) 



dx r dx r dx r V ~ ' dx r ~ x 



woraus hervorgeht, dass, wenn man die Ordnungszahl der Differentiationen in jedem Gliede 

 um eine beliebige Anzahl r — 1 erhöht, dadurch weiter nichts geändert wird, als dass die 

 rechte Seite der Gleichung 2 (r — 1) mal mehr in Rechnung gebracht werden muss. 



3. 



Ausser den bereits benutzten Relationen zwischen den Differentialquotienten von u sind 

 noch die folgenden von besonderer Bedeutung, die sich aus der Bemerkung ergeben, dass 



(X z)~ = — - (1 X 2 ) 



Denkschriften der mathem.-uaturw. Cl. XXI. Bd. 6 



