über einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen einer Veränderlichen etc. \:\ 



Die beiden letzteren Gleichungen, welche zuerst Legendrc a. a. 0. auf anderin Wege 

 fand, sind die Differentialgleichungen der Function X„ 



4. 



So wie im vorhergehenden Beziehungen zwischen drei aufeinander folgenden Functions- 

 werthen gefunden worden sind, so lassen sich auch solche zwischen einer grössern Anzahl 

 derselben finden. Einige hierher gehörige Fälle verdienen bemerkt zu werden. Aus der Glei- 

 chung für u folgt sogleich 



1 = (1 - 2xz | .:') [X + X,z + A 2 3 2 + . . . + X n z« + . .\ 



und da diese nur bestehen kann, wenn sowohl der Coefficient von z 2n als auch jener von 

 für sich gleich Null ist, so folgt 



ir A„ + A„_, A /[+] 4- A, .A„, ; , -| X„_ s X n+8 4- • • • 



X„_j - Ä. n _ 2 X n -\- X n _ i JL n j ri J A„. |.\„ + ._, -- .. 



SO wie aueli 



= 2.r [ a„_,a; + a;_,a'„ +1 + x„. .x .,. , i . . . | 



X n _ i A„ + X n _ i X„ +1 4- A„ A„,, 4- • • • 

 + X„ X n+1 4- A„ ,A„ ,, | A„_ 2 A„ +8 +... 



Auf folgende Art kann man auch die Entwickelung des reeiproken Werthcs von u 

 erhalten. Es ist 



1 . d £ = (x-z) u = (x-z) [X -i A,, 4 Xr 4 ] 

 oder, wenn man die Multiplieation ausführt 



— . — = xX 4 (scZj — X) ^ + (arA'g— Ä',) .r + . . 4- (xA'.-A,,,,) *"+... 



?i" öS 



und wenn man auf beiden Seiten nach z integrirt 



1 s 2 z" ■ ' 



+ Const = xX z + (xX— A ) — 4 ... 4- (a?A„— AC_,) - — + . . . 



M 1 U-\ I 



Da nun u = 1 ist für s = 0, so folgt für die verlangte Entwickelung 



V l _ 2x2 + z* = 1 — xX z + (A — a^) -+...+ (A_ ; — xX n _,) - + . 

 Soll aber die Iieihe x nicht enthalten, so muss man von der Relation 



" = 2^+7 A - 1 + 2^+1 A " + ' 



Gebrauch machen, vermittelst welcher man erhält 



Ä„ — A 2 , A, — X 3 3 A. — A, 4 .\„ , .\ ., 



V 1 - - 2xz + z- = 1 — A,s + — — - .r + — - z- 4- -y- z + . . H 2w _ 1 a + • ■ • 



r, 



