■ii Anton Winckler. 



Ordnet man die Reine nach den X, so nimmt diese Gleichung die folgende Form an 



n -s» + <■=! + £* + (£-1),*, + (<_|)^+.. + .( s i._Li_j;i ; +.". 



Wie leicht einzusehen, liesse sich die Anzahl derartiger Resultate beträchtlich vermehren. 



5. 



Die in Art. o abgeleitete Gleichung 



-x-) _ - 2x — + m (m + 1) X m = 

 führt, wenn man darin n für m setzt und dann die Gleichung 



fl-O^-** + »(»+l)X. = 



mit der vorhergehenden durch Subtraction verbindet, zu einem bekannten sehr wichtigen 

 Satze. Man findet nämlich 



o--*\z.*£— *.*£■]- 2 *KS - *£] + [- (»+ 1 ) - »(«+«>] A--v.=o 



und wenn man zwischen den Grenzen — 1 und -\- 1 integrirt, wobei sich die beiden ersten 

 Glieder linker Hand, nämlich 



[(i-^f-^)]:: 



aufheben, so erfolgt 



L ( n + i) _ TO (m+l)] fx m X H dx = 



— i 



Was zunächst den Coefficienten in der Klammer betrifft, so gibt derselbe, gleich Null 

 gesetzt, die Gleichung 



mr -f m = ?i 2 -f- w 



welche, nach in aufgelöst, die beiden Wurzeln 



m l = n , m a = — (n-\-l) 



liefert. Für alle anderen Werthe verschwindet jener Coefficient nicht, muss also das Integral 

 Null sein, so dass, mit Ausschluss der Werthe m 1 und m., immer 



/ 



+ 1 



X„, X„ dx = 



1 



und dieses ist, wie man sieht, ohne Ausnahme der Fall, wenn man für m nur positive von n 

 verschiedene Werthe setzt. Auf diesem Satze beruht bekanntlich die Methode für die Ent- 

 wickelung gegebener Functionen in Reihen, welche nach Kugelfunctionen fortschreiten. Was 

 nun aber die Integrale 



f X_ (n+1) X n .dx , I XI dx 



