Über einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen einer Veränderlichen etc. 45 



betrifft, so sind sie einander gleich, wenn man, wie in Art. 1 geschah, X_ (n+1) und X„ als ein- 

 ander gleich erachtet. Man hat daher nur das letztere Integral, dessen Werth offenbar von 

 Null verschieden ist, zu ermitteln. Für diese Werthbestimmung jedoch gibt es meines Wissens 

 nur ein directes Verfahren, nämlich jenes von Legendre, und es scheint daher nicht ohne 

 Interesse zu sein, noch eine zweite, kürzere Herleitung jenes Werthes zu kennen, welche von 

 einem ganz verschiedenen Gesichtspunkte ausgeht. Multiplicirt man nämlich die in Art. 2 

 erhaltene Gleichung 



dx dx 



durchgehends mit X n und integrirt hierauf zwischen den Grenzen — 1 und + 1 , so geht sie 

 dadurch über in 



n fxidx = fxX„ dX—fxjX^ 



— j — i — i 



Was zunächst das zweite Integral auf der rechten Seite der Gleichung betrifft, so ist das- 

 selbe nach der in Art. 2 begründeten Gleichung 



^2 = (2n-3) A;_ 3 + (2n-7) A'„_ 4 + . . . 



offenbar gleich Null, und für das erste Integral findet man durch theilweises Integreren 



[y ^ - |/a1 dxfL 1 - ~fh n dx 



— 1 — 1 



so dass man die Gleichung 



n \ XI dx = 1 — — / XI dx 



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erhält, aus welcher 



r^' 2 



— i 

 folgt. 



Die L egendr e'sche Bestimmung besteht dem Wesen nach darin, dass das bestimmte 



Integral 



dx 1,1 + {/yl 



^==^= — __ loa- — r ^_ 



-' 



/ 



V (1 - 2xy + f) (1 - 2xz + s s ) \/yz l-\ >,, 



nur von dem Product yz, nicht aber von y und z einzeln abhängig ist, so dass, wenn man die 

 beiden Seiten in Reihen entwickelt, die Gleichung entsteht 



fdx A' + X,y 4- X 2 y 2 4- ... LY + A> + X,z 2 4- . . . 



— i 



woraus sich gleichzeitig die Resultate ergeben, dass 



J X m X n dx = , I X\dx = — 



