46 Anton Winckler. 



6. 



Den bisherigen Ergebnissen füge ich einige Bemerkungen bei. Multiplicirt man die 

 Gleichung 



- = X 4- A> + X a z 2 + ... + X n z n + ... 



mit X„dx und integrirt zwischen den Grenzen — 1 und + 1 > so wird man 



r+ l X„dx 2z» 



j \/l—2xz + z 1 ~ 2« + 1 

 — i 



erhalten, worin z jeden beliebigen, zwischen — 1 und + 1 liegenden Werth haben kann. 



Integrirt man hierauf nach z zwischen den Grenzen a und b und kehrt auf der ersten Seite der 



Gleichung die Integrationsfolge um, so erfolgt 



2 (J»+i_ a H-i) 



J J \n-2xz 



+ s * (» + 1)(2«+1) 



oder, wenn man die Integration nach z ebenfalls ausführt 



t' b — x + x/b 1 — 2bx + 1 , 2 (b n + 1 —a n + 1 ) 



A„ log- ax = 



a 



— i 



x + \/d 2 — 2ax + 1 (m + 1)(2»+1) 



Dies ist der einfachste Fall einer Eeihe von Ergebnissen, welche sich aus der allgemeinen 

 Formel : 



r +1 r 1 ' /(*)* 2 r h 



/ X,.dx / ^ ■= -- — ^ — r~ r / z n f(z) dz 



— a a 



finden lassen, wenn a und b als zwischen ■ — 1 und + 1 liegend vorausgesetzt werden. — 

 Ohne mich weiter mit derselben zu beschäftigen, will ich nur noch bemerken, dass die An- 

 nahmen z = — 1 und z = -f- 1 zu dem Resultate 



/ 



41 X n dx _ , r +1 X n dx 2 y2 



yT^x = ' J y/T+x == 2«+l 



führen. Eben so leicht ergeben sich aus den in Art. 4 abgeleiteten Gleichungen die beiden 

 Integrale . , ^ 



I [A'^A,, -f A'„_,A„., -j- A„_ 3 A„ + , -f- . . .Jav/.r = ^ ^ 



+ 1 

 — i 



I— A; + A^A,,^ 4- A„_ 2 A, i+2 4- A', 1 _ 3 A' n+3 4- . . . \xdx — Q 

 ~— i 

 Da indessen X n _ r X n+r eine gerade Function ist, so versteht sich die letztere Gleichung 

 von selbst. — 



Endlich kann man noch bemerken, dass aus einer, zuerst von Dirichlet in seiner Ab- 

 handlung „Sur les Series dont le terme gem?ral . . ." (Crelle, Journal, Bd. 17) gefundenen 

 Formel, wenn x = cos y gesetzt wird, die Gleichung 



Y . (n + l)n . 7 ( u+ 2)(n+l)n(n-l) . ' 7 («+3) (»+2) (ä+1>( W -1) (n-2) . ,; 7 



" ~~ p sin Y + ~~ — TT2 1 sni ¥ 1 2 . 2 S . 3 2 Y + " 



