Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 4 7 



sich ergibt, welche mit dx = — sin y dy multiplicirt und in die oben erhaltene Formel 



r + * x n dx 2 \/j 



J \l^x ~ 2T+1 



— i 



sub'stituirt , zu der Gleichung führt 



9 1/2 ri, (n + l)n 2 7 (»+2) («+1) « (»-1) . * 7 )/- 7 







aus welcher durch Ausführung der Integration die merkwürdige Reihe 



1 1 (n-\-l)n 1 (n-\-2)(n+l)n(n— .1) 1 («4-3) (w+2)(»+l) rafa— 1)(»— 2) 



2*"+T "" _ ¥' r - "^ 1. 2 2 _ T"~ l s . 2-' .3'' " l ~"' 



erhalten wird. 



Unter den bis jetzt gefundenen Formeln sind einige einer wesentlichen Verallgemeine- 

 rung fähig. So lässt sich aus der in Art. 2 abgeleiteten Gleichung 



* it = raX * + (2 "~ 3) A ''- 3 + (2 " _7) A '-- 4 + O- 11 ) z »-« + • ■ • 



eine Entwickelung von a vr — — finden, wenn man von den ebendaselbst nachgewiesenen 



dx 



Gleichungen 



dX„ dX n _ 1 / ,,.V,_,+ f w + l)X + , 



* -& = wA - + -*r ' **-■= 27+1 



wiederholt Gebrauch macht. So z. B. ergibt sich 



. dX n ?i 2 4- n ,, '\ic — n — 1 _ . ._ 



"-s: = s^i A - + när+r- x « + < 2 "- 5 ) A - + ( 2 "- 9 > A -> + • • • 



u. s. w. In gleicher Weise lässt sich x r X n in linearer Weise durch die Functionen X darstellen. 

 So findet man z. B. 



^ _ „ («-D (2»-l; («+1/ + ( 2n+3) w 2 (^ + 1jQ,+2; 



" » " 4;r — 1 " "-' " (2n— 1) (2n+l) (2»+3) " " + (2n + l)(2»+3) " " +L ' 



Auch für lässt sich dasselbe erreichen und zwar kann man auf folgende Art zu 



</..'■ s dX 



einer allgemeinen Formel hiefür gelangen. Differentiirt man nämlich die Formel für — ", 



dx 



so findet man nach einigen einfachen Reductionen 



'"- = 1 .(2»-l) (2rc-3) X„_ ä + 2 (2»-3) (2n-7) A;_, -f 3 (2n— 5) (2rc-ll) A„_, ; f . .". 

 Differentiirt man auch diese Gleichung, so erhält man 

 'l^L = l.(2«-l)(2«-3) (2h-5) Z„_ 3 + 3 (2«— 3) (2n— 5) (2»-9) X„_ 5 



+ 6.(2«— 5) (2h— 7) (2h— 13) A'„_ 7 + 10 (2h— 7) (2k— 9) (2n— 17) A'„_ ; , + . . . 



und durch das ganz gleiche Verfahren 



d'X, 



dx 



l.(2n— 1) (2n — 3).(2ra— 5)(2rc— 7) A'„_ 4 + 4 (2h— 3) (2h— 5) (2h— 7) (2h— 11)A„_, 

 + 10(2h— 5)(2h— 7)(2h— 9)(2h— 15)A'„_ 8 + 20(2h— 7)(2h— 9)(2h— 11)(2h— 19)A r „_ 10 + ... 



