48 Anton Winckler. 



Aus diesen vier Gleichungen lässt sich hinreichend deutlich der Fortgang der Zahlen- 



eoefficienten und übrigen Factoren erkennen. Was die ersteren betrifft, so bilden sie für — — 



° dx r 



offenbar eine arithmetische Eeihe, deren allgemeines Glied 



m (m+1) (m-f 2) . . .(m+r— 2) 

 1.2.3....(r— 1) 



ist. Bezeichnet X einen Summationsbuchstaben, wird r > vorausgesetzt und ist l die grösste 



in 1 -| enthaltene ganze Zahl, so hat man 



d r X„ 

 dx r 



2 A(X+ i 1) f+^--^~ 2) (2n-2X + l) (2n-2l-l)..{2n-2l-2r + 5) (2»-4X-2r + 5)A'„_ r _ 2 , +2 

 ). = i 



Für r = 5 erhält man hieraus 



^ = 1 . (2n— 1) (2«— 3) (2rt— 5) (2n— 7) (2;?— 9) A~„_-, 

 + 5 (2«— 3) (2«— 5) (2w— 7) (2«— 9) (2ra— 13) X^_. 

 + 15 (2rc— 5) (2»— 7) (2n— 9) (2/?— 11) (2?*— 17) A'„_ ; , 

 + 35 (2«— 7) (2ra— 9) (2m— 11) (2rc— 13) (2rc— 21) X»_ n 



+ 



u. s. w. 



Von der so eben entwickelten allgemeinen Formel lässt sich eine Anwendung machen. 

 Bezeichnet nämlich z einen zweiten Stellenzeiger und ist k die grösste in 1 -\ — enthal- 

 tene ganze Zahl, so hat man analog wie oben die Gleichung 



d'X m 

 dx s 

 " x(x+l)(x+2)...(x+s-2) 



s 



1.2.3. ..(8—1) 



(2m-2x+ 1) (27»-2x-l)...(2m-2x-2Ä+5) (2m-4x-2s+5) A" M _ 5 _, X+ ., 



d r X n 

 Multiplicirt man diese Gleichung mit jener für — — - und integrirt hierauf zwischen den 



Grenzen — 1 und -f 1 , so wird nach dem Satze, dass, zwischen jenen Grenzen genommen, 

 das Integral des Products zweier Kugelfunctionen nur im Falle gleicher Indices einen von 

 Null verschiedenen Werth erhält, die rechte Seite der Gleichung immer verschwinden, wenn 



n — r — 2X 4- 2 = m — s — 2/. + 2 



oder also 



n — m s — /■ 



X — X = — — + ----- 



gesetzt, keine ganze Zahl für X — y. gibt; denn erhält man hiefür keine ganze ZahJ, so enthält 

 das Product sicher keine Glieder mit Kugelfunctionen von gleichen Indices. 



Hieraus ergibt sich der Satz: 



