Über einige neue Eigenschaften der Kugeifunctionen einer Veränderlichen etc. 49 



Wenn die Ordnungszahlen r und s der Differentiationen von Null ver- 

 schieden, gleichartig (entweder gerade oder ungerade) dagegen die Indices m und n 

 der Kugelfunctionen ungleichartig (eine gerade, die andere ungerade) sind; oder 

 wenn r und s ungleichartig, dagegen m und n gleichartig sind, überhaupt also, 

 wenn der Ausdruck 



11 — in s — r 



+ 



2 2 



keine ganze Zahl gibt, so ist immer 



' +1 d r X n d°X 



I 



dx = 



dx r dx $ 



— l 



Um den besondern Fall, in welchem s = ist, etwas näher zu betrachten, will ich 

 zunächst voraussetzen, es sei 



m > n — r 

 so ist immer noch 



r + ± d-X„ 



.1 x - -ü^ dx = " 



— i 

 Setzt man aber voraus , es sei 



vi << n — r 



und es seien m und n — r gleichartig; wird ferner 



n — m ■ — r = 2p 

 und p als eine ganze Zahl vorausgesetzt, so ist 



— i 



Hieraus findet man für r = 1 und wenn p = eine ganze Zahl ist 



dx 



-l 



was, wie bekannt, richtig ist. 



Nimmt man endlich an, es sei 



/" 



m <; n — r 

 es seien aber in und n — r ungleichartig, und 



n — m — r = 2p -f 1 

 gesetzt, gebe für p eine ganze Zahl, so ist immer 



/ 



+ 1 d\ 



X —^ dx = 



'" dx' aX — 



Hieraus findet man für r = 1 und wenn p = eine ganze Zahl ist 



/ 



1+1 dX n 

 X m ~r dx = 



dx 



— i 



was, wie bekannt, ebenfalls richtig ist. — 



Denkschriften der üiaüieni.*naturw. Cl. XXI. Bd. 



