50 Anton Winckler. 



Als Ergänzung des betrachteten allgemeinsten Falles nehme man noch an, es sei 



n — m 

 9 



in der That eine ganze Zahl. Dann wird der Werth des Integrals 



dx 



/.+ 1 cTX n d°X m 



I" 



dx r dx s 



d r Y d s Y 



er halten, wen n man die allgemeinen Glieder der für — — und aufgestellten 



& dx r dx' ö 



2 



Summenausdrücke mit einander und ihr Product mit multiplicirt 



2m— 2r— 4X + 5 F 



und für X, x alle diejenigen Zahlen setzt, welche für X — •/ den oben bestimmten 

 Werth geben und so beschaffen sind, dass X zwischen 1 und l und x 

 zwischen 1 und k liegt. 



Diese Sätze, welche mancher Anwendungen fähig sind, haben eine gewisse Analogie zu 

 jenen, welche Legendre a. a. 0. in den Exerc. gefunden hat, und durch welche der Werth 

 des Integrals 



f 



+ ' ,/'• Y d r Y 



dx r ' doT K ' 



erhalten wird; es ist aber klar, dass dieses Integral in seiner Art weniger allgemein als 

 das so eben erörterte ist. 



9. 



Wie im Eingange bemerkt, betrifft der zweite hier zu erörternde Gegenstand die Begrün- 

 dung einiger Verfahrungsarten, durch welche in gewissen Fällen die Entwickelung gegebener 

 Functionen in Reihen, welche nach Kugelfunctionen fortschreiten, wesentlich leichter wird als 

 nach der gewöhnlichen Methode. 



Es ist bekannt, dass die Entwickelung 



f(x) = A X + A,X t + A 9 X 2 + . . + A n X n -f . . . . 



einer Function f (x) nach Kugelfunctionen, erhalten wird , wenn man die Coefficienten A n 

 durch die Gleichung 



■,+ 1 



2« + l 



- jf {x) X n dx 



bestimmt. Der Anwendung dieser Vorschrift stellen sich, wie dies ebenfalls bekannt ist, in 

 gegebenen Fällen nicht selten Schwierigkeiten entgegen, welche darin bestehen, dass der 

 Coefficient A„ wegen des unter dem Integralzeichen vorkommenden Factors X n in unüber- 

 sichtlicher Form erscheint, welche selbst in den einfachsten Fällen die Eeductionen nicht 

 erkennen liisst, welche daran angebracht werden könnten, oder dass, wenn sich A„ überhaupt 

 nicht in geschlossener Form finden lässt, das bezeichnete Verfahren keinen Anhaltspunkt dar- 

 bietet, wie man wenigstens zu einer recurrirenden Beziehung zwischen zwei oder mehreren 

 aufeinander folgenden Coefficienten gelangen könne. Bevor ich mit der Auseinandersetzung 



