Über einige neue Eigenschaften der Kugclfunctionen einer Veränderlichen etc. 51 



einiger anderen Methoden für die Bestimmung der Coefficienten mich beschäftige, scheint es 

 zweckmässig, anzugeben, was unter A n verstanden werden soll, wenn n negativ ist. Die im 

 Folgenden vorkommenden Fälle, in welchen negative Indices von A„ eintreten, sind so 

 beschaffen, dass für sie eine Definition hinreicht. Der Analogie nach scheint es am angemes- 

 sensten, eben so A_ n = A„_ x zu setzen, wie früher A'_„ = X n _ i gesetzt worden ist, so dass 

 hiernach gleichzeitig 



A_„ = A„_ t und A +n = A_ [n+1) 



ist. Es versteht sich, dass an dieser Erklärung durchgehends festgehalten werden muss. Der 

 Nutzen derselben besteht in der nicht unbeträchtlichen Vereinfachung mancher Formeln, ins- 

 besondere derjenigen, in welchen Summenausdrücke vorkommen. 



10. 



Ein Verfahren zur Bestimmung der Coefficienten A n , welches sehr nahe liegt, aber noch 

 nicht benutzt worden zu sein scheint, ergibt sich aus der Bemerkung, dass jener Coefficient 

 erhalten wird, wenn man das Integral 



2n + 1 r +1 fix) dx 



' 1/1- 2s 



2xz -f- s- 



nachdem es ermittelt ist, aufsteigend nach Potenzen von z entwickelt und den Coefficienten 

 von z n daraus nimmt. Da in der Regel der Nenner Vi — 2xz -j- z 2 viel einfacher, jedenfalls 

 übersichtlicher als X n ist, so wird das Verfahren im Vergleich zum oben bezeichneten, manch- 

 mal den Vorzug verdienen. Das Integral lässt übrigens noch eine Umformung zu. Setzt man 

 nämlich 



1 — 2xz + z = t , x = , dx = 



so nimmt das Integral die Form an 



2« + 1 " 1H 



1 — = 



Um eines besondern Falles zu erwähnen, nehme man an, es handle sich um die Ent- 

 wickelung der Function 



dann entsteht der Ausdruck 



(2»+l) / 



für welchen man nach näherer Ausführung erhält 



2w -f 1 a -f z 4- V 1 + 2az + z* 



■ log- ^^ === ^ == 



2fl + 2 fl j+s ! a -f z — y 1 -f 2az -f z- 



oder in etwas anderer Form 

 2n -f 1 



V 1 + 2o« + 



=- log (a + e + Vi + 2az + z 2 ) — -log (tr— 1)| 



