52 Anton Winckler. 



Was nun die Entwickelung des einen oder andern dieser Ausdrücke betrifft, so kann sie, 

 dem speciellen Falle angepasst, sehr einfach in der folgenden Weise geschehen. Aus der 

 Definitionsgleichung der Functionen X ergibt sich 



,/ |/l— 2xs+a 3 2 3 4 



oder also, wenn man die Integration ausführt 



,n+l 



10g ( Z — x + V1—2ZX + O = log (1—3) + A> + X x - 4- X a - + . . . + X» — - + . . . 



Setzt man hierin x = — a und bezeichnet mit a 0) oc,, a,, . . . a„, . . dieselben Functionen 

 von «, welche AT , A^, A r 2 , . . . X n . . von cc sind, so findet man 



log (o + s + VI + 2az + 3 J ) = log (1 + a) + a s — ex, - + a 2 — — . . . + (— 1)X 



„n+1 



Daraus folgt nun die Gleichung 



3 ' \ / " n+ i 



2«-fl 1 z + r>+ \Zl-\-2az + z 2 



log 



2V'l + 2as+22 s + a— y'l4-2«a+s 2 



Dem letzteren Ausdruck aber kann man auch noch die Form geben 



^T^log^ . ja — a lS + a. 2 z 2 — ...+ (— 1)" a n s" -f . . . J 



4- (2» + l) a -« lS + a^ 8 — . . . + (_l)Xa"+ . .J a z— o t - + . . . 4- (— 1)"« Ä — — + 

 Daraus suche man den Coefficienten von s", so erhält man 



A n = (—1)'« (2»+l) a„ . log l/^ti 



+ (-1)- (2»+l) j^ + ^ + ^ + .. + ^ + «-«» 



Wenn man unterscheidet, ob n gerade oder ungerade ist, so lässt sich der Ausdruck in 

 der Klammer auf die Hälfte der Glieder zurückführen, und man kann dann das Resultat 

 dieser Rechnung 1 in folgendem Satze zusammenfassen: 



Wenn 



- = A X + A, X, + A 2 X 2 4- . . + 4 4 4- A 2n+1 X 2n + 1 4- . . . 



gesetzt wird, und wenn cc , a 1? oc 2 , . . . dieselben Functionen von a wie X , AT 1? A' 2 , . . . solche 

 von x sind , so sind die Coefficienten A bestimmt durch die Gleichungen 



An = (4« + 1) X 



"* l0g l/^l + ( 2 "+ 1 ) [-OT + 2^=1) + 372^2) + ' • + ^+1)J1 



A„ +1 = (4« + 3) X 



I 1 l/ a ~ * /o , o\ r a " a -*" , a i a -'«-i , «a«2»-2 , , «b-iäb+i , a„a„ 1 ) 



|«^log|/— 4- (2. + 2) ^ ( _ - + — — + ^_ - + • • + ^^ + ( W +1)(2 W +2J } 

 durch welche die explicite Bestimmung der Coefficienten gegeben ist. 



