Über einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen einer Veränderlichen etc. 53 



Durch das gleiche Verfahren gelangt man auch zur Entwickelung 

 log (a-f x) = A X + A i X 1 + A,X. 2 -{-..... 

 wobei die Coefficienten aus der aufsteigenden Entwiekelung des Integrals 



2n + 1 r +1 log (a+x) 



2 7 i/l 



f?x 



j/1 — 2xz + 



oder, um die Rechnung zu erleichtern, des nach a genommenen Differentialquotienten des- 

 selben zu finden sind. — Ebenso hat man für die Entwiekelung 



(a + x) r = A X -f AiXy + A 2 X, -f 



den Ausdruck 



2^+1 r +1 (a+xydx 2» + l " 1H 



2 7 



und für die Reihe 





arctg ax = A X -f- ^i^ + A>A' 2 -f- . . 



das Integral 



2n+l r l +* fl + 2as + s 2 — t 2 



2 



u. s. w. zu betrachten. 



■y dt arctg ( 1 + 2aS 2 ^ S -) 



11. 



Zur Bestimmung der Coefficienten A ist in letzter Zeit ein in vielen Fällen zweckmässiges 

 Verfahren (s. die Abhandlung von G. Bauer im Journal von Crelle, Band 56) eingeschlagen 

 worden, welches darin besteht, dass man die Gleichungen zu Hilfe nimmt, die sich ergeben, 

 wenn man die Entwiekelung 



f(x) = ZA„X„ 



o 

 einer Integration nach x unterwirft; man erhält dadurch in vielen Fällen eine weitere Glei- 

 chung, welche wenigstens eine Relation zwischen den zu bestimmenden Coefficienten liefert. 

 Dieses bis dahin nur auf einzelne Beispiele und insbesondere nur auf die aus der einmaligen 

 Integration hervorgehende Gleichung angewendete Verfahren lässt eine Erweiterung zu, 

 welche hier in Kürze näher bezeichnet werden mag. 



Man multiplicire die angeführte Gleichung mit dx und integrire sie dann zwischen den 

 Grenzen x und -f 1 , so erfolgt 



/ f{x) dx = 1A n j X n dx 



X X 



und wenn man dasselbe Verfahren noch r — 1 mal wiederholt 



j dx / dx... i dx / / ' (x) dx = 2 A„ dx dx... dx X n dx 



