54 Anton Winckler. 



Nun l'ässt sich, wie bekannt, sowohl die rechte als die linke Seite dieser Gleichung durch 

 einfache Integrale ausdrücken; führt man zunächst rechter Hand diese Reduction aus, so 

 findet man 



i ( ~ 3 1) ' ' r SjA h' fx n dx — raf' 1 fxXßx + T -^- x^jx'Xßx — . . . + fx'X,ßx^ 



»1=0 x x x x 



Bezeichnet man mit Y„ dieselbe Function von y, wie X„ eine solche von x ist, so kann 

 man die r + 1 Integrale unter ein gemeinschaftliches, auf die neue Veränderliche y sich 

 beziehendes Integralzeichen bringen, wodurch man den Ausdruck 



r 1 { r(r— 1) „ „ r (r— 1) (r— 2)' _ _ . ) v 



j dy\x r - rx- 1 y + \j± x-y - 1 £ s x-y + . . . ± rxy- 1 + y' j F„ 



x 



oder einfacher 



J Y H . (x-yY dy 



x 



erhält, so dass die oben gefundene Gleichung die Form annimmt 



fdx fax ...ff (x) dx = l ^ r 5 [A n [y„ . (x-yY dy] 



XXX x 



Würde es sich um eine Verificirung dieses Resultats handeln, so hätte man sich nur zu 

 erinnern, dass die linke Seite der Gleichung ebenfalls in die Form 



(— 1)' /.' 



i.2. 3.. 7- / f { y) &—y) T d U 



X 



gebracht werden kann und also 



// (V) {x-yf dy = S [Af Y n (x-yydy] 



x x 



ist; diese letztere Gleichung ergibt sich in der That, wenn man die ursprüngliche mit (x — ?/)'' 

 multiplicirt und dann zwischen den Grenzen x und 1 nach y integrirt. 



Was nun aber die Benützung der aus wiederholter Integration hervorgehenden Gleichun- 

 gen zur Bestimmung der Coefficienten A betrifft, so dient hierzu nicht sowohl die so eben 

 ausgeführte Umgestaltung des Ausdrucks 



oo /** /?■* /' ' 



TtA„ j dx f dx. . . / A'„ <l.i 



als vielmehr die folgende, welche sich auf die Eigenschaften der Function X„ gründet. Aus 

 einer im Art. 2 entwickelten Formel ergibt sich nämlich 



,i 



/ A » (/X = -2„ + 1 



