Über einige neue Eigenschaften der Kugel Functionen einer Veränderlichen etc. 55 



so dass also neben der Gleichung 



/UM =%A n X n 







auch noch die folgende 



\ f{x) dx = 53 — -— ( Z„_j — X n+i ) 



besteht. Man kann den letztern Summenausdruck so transformiren , dass blos X n statt A n mit 

 demselben Index hinter dem Summenzeichen vorkommt; man muss aber dabei an der Bedeu- 

 tung festhalten, welche den Grössen X n und A„ für negative Werthe von n beigelegt worden 

 ist. Zerlegt man nämlich jene Summen in zwei Theile, so ist 



? 5 — rr X„-i — S - — n — X H+l = 53 -— — X„ — 53 X„ 



1 >ie letztere Form aber ljjfest sich in 



•^'-.-^ + !(^-^)- Y - 



zerlegen, worin sich die Ausdrücke vor dem Summenzeichen gegenseitig aufheben, so dass 



man die Gleichung erhält 



//M* = !(^5-s^) z « 



X 



Diese Gleichung, in anderer Form dargestellt, bildet die Grundlage für die Methode der 

 Coefficientenbestimmung, welche in der oben bezeichneten Abhandlung zuerst benutzt worden 

 ist. Unterwirft man diese Gleichung einer abermaligen Integration, so ergibt sich in gleicher 

 Weise wie oben 



1/1-1 \ -^re— 1 -A-n+1 



/*//«*-!(^--^i) 



In + 1 



Um auch hierbei den Ausdruck hinter dem Summenzeichen blos durch X„ auszudrücken, 

 zerlege man denselben in zwei Theile und transformire jeden, so wird 



Ü { Än+1 A "-* \ X "~ 1 — v ( Än+2 _ A " \ X " 



Un + 3 2»— lj 2re + l ~~_ 1v 2m+5 ' 2n + l) 2«-f3 



~ ( A n+1 A„_, \ X n+1 ~ / A n A„_, \ X n 



oV- x « + 3 2n — V 2n + 1 : ~+iV> + 1 2»— V 2n — 1 



Lässt man ferner die beiden Summen rechter Hand mit statt mit — 1 und -f- 1 anfan- 

 gen, so werden die Ausdrücke 



(j a, + ä^j a_, - (a + i .4_ 2 ) a;, 



