56 Anton Winckler. 



ausgeschieden und heben sich offenbar auf, so dass man erhält 



f dxjf(x) dx =j {y—x)f (y) dy = 



XX X 



v r A »+* 2A » , A »-* 1 x m 



L(2«+5) (2«+3) (2n+ 3) (2m— 1) " r (2«— 1) (2a— 3)J ' l "' 



Wie man in dieser Weise weiter gehen kann, bedarf keiner Auseinandersetzung. 



12. 



In manchen Fällen lassen sich die Quadraturen nicht in endlicher Form ausführen, 

 welche in den so eben entwickelten Gleichungen vorkommen, während dies gleichwohl bei 



einem der Integrale 



ff(y) d v, fyfdu) ch Ji jffiy) di J> • ■ ■ 



der Fall sein kann. Da sich nun, wie leicht einzusehen ist, diese Integrale ebenfalls mittelst 

 der Coefficienten A wie f (x) selbst nach Kugelfunctionen entwickeln lassen, so liegt hierin 

 öfter ein Mittel zur Coefficientenbestimmung. Multiplicirt man die Gleichung (1) des 

 vorigen Art. mit x und addirt sie dann zu (2), so ergibt sich 



C\ ,, w v \ A »+°- 2A - A »-* 1 Y 



jyjW a y - - * L(2»+5) (2»+3) (2«+3) (2n— 1) "*" (2m— 1) (2m— 3)J ^ " 



X 



A„+i A,,—i 



Da nun 



~ r A n+1 An-i 1 y 





so kann man den letztern Summenausdruck in zwei Theile zerlegen und jeden derselben 

 einzeln transformiren , wodurch man findet 



o 2» + l V2« + 3 2«-lJ " "- 1 " " o 2« + 3 ^2« + 6 "" 2n + l) " " 



( Ä„ + 1 An-j \ ~ M / A n -4,-2 \ -^ 



\2^+3 ~~ 2« - 1 ) " +1 ~~ o 2« - 1 \2n + 1 2m— 3,/ " 



S « + 1 / 4, +1 

 o 2m + 1 \2n+3 



so dass sich die Gleichung ergibt 



J y/ ^ * = * l(2»+5) (2,+3) - (2„+3) (2,-1) ~ (2.-1) (2„_3)J A » ' " (1) 



x 



Auf ganz gleiche Weise kann man auch die Integrale 



fy'\f(y) fy ... 



ausdrücken. 



