Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 57 



13. 



Die Betrachtung einiger besonderen Fälle wird genügen , den Gebrauch der so eben 

 abgeleiteten Formeln zu zeigen. Angenommen, es handle sich darum, die Function cos ax 

 nach Kugelfunctionen zu entwickeln, so bestimme man zunächst 



fdxfc 



.. . sin a cos « — cos x 

 cos ax . dx = (1 — x) + 



und es ist daher nach der Gleichung (2) des Art. 11 



sin a cos a — cos ax ~ r A„ +i 2A n A n _ 2 



A„ 



sin o cos a — cos ax rr r -4„+2 VA n 



( ~~ X ' ~V + <r ' o L(2»+5) (2»+3) ~ " (2«+3) (2«— 1) + {2n— 1) (2«— 3)J 



Da nun cos ax = 5M„X„ und a; = A' I? so erkennt man auf der Stelle, dass diese Glei- 







chung nur bestehen kann, wenn 



sin a cos a ( 1 2 \ . 1 1 



+ — -= - + tM» + T^ + 7*^ 



a \a bj 3o 



und für alle Werthe von n, welche die Einheit übertreffen 



A-, . fl _ 2 ^ ^ ^"+« _ 



(2«— 1) (2n— 3) "*" V« 2 (2m+3) (2ä— 1)J " + (2»+5) (2m+3) " 



Es ist für sich klar, dass die vorliegende Entwicklung nur Glieder gerader Ordnung 

 enthalten kann, dass also A 2n+i = Ü sein muss; da ausserdem 



a 1 r +1 , sin a 



A Q = — / cos ax dx = 



2 J a 



— i 



so folgt 



* , , / 1 1 \ sin a „ „ cos a 



A 2 = 15 - — - + 15— - 



\o a / a a 



u. s. w. 



In ganz ähnlicher Weise lässt sich auch eine Relation für die Coeffieienten der Entwicke- 

 lung von sin ax ableiten. 



Als zweites Beispiel will ich die Function e~ ay betrachten. Hier tritt die Gleichung (1) 

 des vorigen Art. in Anwendung und man hat 



fye- at *dy = 



2ä 



X 



Da nun 



n •*■ n 

 



so ergibt sich aus jener Gleichung unmittelbar die Bedingung 



y a X -* 9 ^ y f {n+2)A n+i A H {n—l)A n - 2 1 



o " * " o L(2n+5) (2»+3) " " (2n+3) (2n-l) " (2»-l) (2«-3)J " 



Denkschriften der niathem.-naturw. Ol. XXI. I5d. ° 



