Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 59 



Addirt man also diese Gleichungen, so ist es leicht die nothwendigen Bedingungen anzu- 

 geben, welchen die Coefficienten A genügen müssen. Insbesondere erhält man für n = 



- 4 - = s K 1 + M 1 + ! ° s H 



u. s. w. 



Alle A mit ungeradem Index sind Null. 



14. 



Der dritte Theil der vorliegenden Erörterungen betrifft, wie in der Einleitung bemerkt 

 wurde, die Nachweisung einiger Eigenschaften, welche die Coefficienten der nach Kugel- 

 functionen fortschreitenden Reihen, oder also die bisher mit A n bezeichneten Grössen besitzen, 

 wenn dieselben als Functionen einer Grösse a betrachtet werden. Unter diese Eigenschaften 

 könnte man zunächst rechnen, dass sich die Werthe mancher bestimmten Integrale von Func- 

 tionen, welche, mit der Reihe in Beziehung stehen, durch deren Entwicklungscoefficienten 

 ausdrücken lassen. Ich beschränke mich hier darauf, ein einziges Beispiel dieser Art anzu- 

 führen, welches sich in den Formeln des Art. 11 von selbst darbietet. Hat man nämlich auf 

 irgend eine Weise die Coefficienten der Reihe 



f(x) = A X 4- A,X t 4- . . . + A n X„ +... 



gefunden, so ist, wenn r eine positive ganze Zahl bezeichnet 



,+ 1 



±f(l+xy/(x)dx 



— 1 



( 1 r(r-l) 1 r(r-l)(r-2)(r-3) ) 



i 1 + t ~rr* + "5" • " 1.2.3.4 + j^° 



M 1 r (r-l) (r-2) _1_ r (r-l) (r-2) (r— 3) (r-4) ) 



+ |3 ' + 5 1.2.3 + 7 1.2.3.4.5 " + • • -J A 



(J_ r(r- l) _4_ r(r-l)(r-2)(r-S) 6 r (r-l) (r-2) (r-3) (r-4) (r-5) 



13.5' 1.2 ' 5.7 1.2.3.4 ' 7.9 1.2.3.4.5.6 t ■ • -j 2 



j 2 r (r-l) (r-2) 4 r (r -l) (r-2) (r-3) (r-4) 6 r (r-l) . . . (r- 6) j 



J5.7 1.2.3 " + 7.9 1.2.3.4.5 ^ 9.11 * 1.2... 7 + J 3 



j 2.4 r (r— 1) (r— 2) (r— 3) 4.6 r (r— 1) (r— 2) (r— 3) (r— 4) (r— 5) ) 



+ (57779 1.2.3.4 " + 7.9.11 ' " 1.2.3.4.5.6 + J 4 



j 2.4 r (r— 1) (r— 2) (r— 3) (r— 4) 4.6 r (r— 1) (r— 2) (r— 3) (r— 4) (r-5) | 



+ {7.9.11 * 1.2.3.4.5 ^ 9.11.13 " 1.2.3.4.5.6 " + } 5 



4 



Das Gesetz der Coefficienten dieser Reihe, welche, wenn r eine positive ganze Zahl ist, 

 von selbst abbricht, lässt sich deutlich erkennen. 



Von grösserm Interesse als diese Benützung der Coefficienten A sind jedoch die Rela- 

 tionen, welche zwischen diesen selbst stattfinden. Einige hierher gehörige Bemerkungen mögen 

 vorangehen. — Wenn in der Gleichung 



f(x) = A X + A,X, + A 2 X 2 + . . . + A n X n + . . . 



8* 



