über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 6 1 



Ich füge noch bei, dass, wenn man die Gleichung 



df{x) _ dX dX, , A dX dX m 



dx dx dx dx dx 



einmal mit X 2n _ r und dann mit X in multiplicirt und hierauf zwischen den bisherigen Grenzen 

 integrirt, die beiden weiteren Gleichungen 



+ ' *«* 



1 r^* 



A-, H + -0-2n+2 4" ^2>l+4 + -^-2)1+6 4" • • • — 17 / -<^2»-l 



— 1 



+ 1 



1 r" 1 " 1 



~T" ^2k+3 "T" -*Hn+b + -"2m+7 ~T" • • • == ~n I ^2n • 



df(x) 



A 2n +1 - ' ^2^+3 -j" -^-2»+5 " " -"-2«+ 7 " " • • ' == ~9~ f ■ 2n " _ ~5 ^ 



sich ergeben. Die durch diese Gleichungen ausgedrückten Eigenschaften der Coefficienten 

 liegen, wie man sieht, sehr nahe und gelten so allgemein als für eine gegebene Function f (x) 

 die Entwickelung nach Kugelfunctionen überhaupt statthaft ist. — 



15. 



Den so eben gefundenen Gleichungen, welche die Summe einer endlichen Anzahl von 

 Gliedei'n der durch A , A„. .gebildeten Reihen in Form eines Integrals bestimmen, kann man 

 andere zur Seite stellen, welche ähnliche Summen durch Differentialquotienten jener Glieder 

 ausdrücken. Hierzu führt die folgende allgemeine Bemerkung. 



Es sei u eine Function der beiden von einander unabhängigen Grössen a und x, ferner 

 seien in der als möglich vorausgesetzten Entwickelung 



/(«) = A X + A.X, + AX + . . . . = %A n X n 







die Grössen X Functionen von x von gegebener Form, und A die als Functionen von a zu 

 bestimmenden Coefficienten der Reihenglieder. Diese Coefficienten A lassen sich immer unab- 

 hängig von der Charakteristik/" bestimmen, oder wenigstens durch Gleichungen definiren, in 

 welchen dieselbe direct nicht enthalten ist. Man kann nämlich f dadurch allgemein eliminiren, 

 dass man die angeführte Gleichung partiell einmal nach x und dann nach a differentiirt und 



sofort — - — wegschafft. Dadurch ergibt sich dann die Gleichung 

 da 



du i dA x — X — 4- | x dA " I 



dx ( ° da da ' da " da 



du ( , dX „ dX x . dX 2 . dX n ) 



Ich werde unter Annahme besonderer Formen für u einige Anwendungen von dieser 

 Gleichung machen. Die erste derselben sei 



u = a + x 



durch welche man, wenn ausserdem noch x n für X n gesetzt wird, bekanntlich die Taylor- 

 sche Reihe herzuleiten pflegt. 



