Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. 63 



so dass man also die Summe der n ersten Glieder der durch die Coeffieienten A gebildeten 

 Reihe durch die Differentialquotienten ihres n ten und (n + l)' en Gliedes ausdrücken kann. 

 Wenn man n ohne Ende wachsen lässt, so erhellt zugleich, dass 



Km. \-J-*± + ^_^} = o 



(2»+l da ^ 2n+ 3 da ) 



ist. Da aber 



/ f(a-\-x) X.dx = -, / f(a + x) . X n ,,dx = — — 



J J V ' n 2» + 1 ' J J V T ; " +1 2n+3 



— i — i 



so folgt weiter 



lim . f X n d I^ dx = 



./ da 



Es ist eine nothwendige Folge dieser und der weiter oben entwickelten Grenzgleichungen, 

 dass X n mit wachsendem n ohne Ende abnehme, was sich indessen auch unmittelbar aus einer 

 von Laplace in der me>. eel. V. 5. Livre XI. abgeleiteten Formel ergibt, wonach sich X n , 

 wenn x = cos gesetzt wird, für sehr grosse Werthe von n durch den Ausdruck 



cos ((. + 4)6-1) 



Vt sln0 



ersetzen lässt. 



16. 



Durch ein Verfahren, welches dem so eben angewendeten durchaus analog ist, findet man 

 ferner 



A A Ä A dA - n _J <^2n+l 



4m +1 da An + o da 



Da aber 



^2n+l ^2k+2 + ^2m+3 " ^2n+4 = ^0 ^1 + -^2 • • • "f 4>« ./" (« 1) 



so gelangt man zu der Gleichung 



1 dA 2n 1 dA% 



+ 1 da An + 3 d« 



Die bisherigen Ergebnisse führen auch noch zu den beiden Summenformeln 



A — A x + A 2 - A 3 + . . . + A 2 „ =/(a— 1) 4 — — — — 



- 4« + o aa 



robei 



2 4» + 1 da 



d^ _ 1 /- +1 d/ («.+«)' /(a+1) -/(«_!) 



=ir 



da 2 ./ da 



— i 



dx = 



dA l 3 C + J df(a+x) 1 3 



da 



3 r" 1 " d/ fa + tc) 3 ( „ ) 



¥ J *■ JS ~ A dx = - J/(«+l) +/(«-!) - 2^ | 



u. s. w. 



