64 Anton Winckler. 



Der so eben betrachtete Fall , welcher sich auf die Annahme u = a 4- x bezieht , gibt 

 noch einigen weiteren Erörterungen Raum. Da nämlich 



*f(a+x) __ d'f(a+x) 

 dx r da r 



so lassen sich die Betrachtungen des vorigen Art. verallgemeinern. Es sei zunächst r = 1 

 man gehe also von der Gleichung aus 



dA d 2 A, d*A* 



4 — ^ + 4 -— i + 4 _i + . . . . 



dx~ dx~ dx" 



Nun lassen sich, wie in Art. 7 gezeigt wurde, die Differentialquotienten zweiter Ordnung 

 von A" , A*j,. . durch diese Grössen selbst wieder ausdrücken, indem 



^ = l.(2n-l) (2»-3) X„_ 2 + 2 (2ra-3) (2n-7) X„_ 3 + . . . 



Sucht man daher nach geschehener Substitution aus der vorhergehenden Gleichung die 

 Glieder, welche X n enthalten, so erhält man 



^ = (2n4-l) |l.(2n+3) 4+s + 2 (2rc+5) 4+4 + 3 (2n+7) 4+e + . . .} 



Ja 1 



woraus für « = 0,1,2,3,... folgt 

 d 2 A 



, = 1 . 3 A + 2 . 5 4 4- 3 . 7 4 + 4 . 9 4 + . . 



da~ 



~ A j = sfl.B^, + 2.7 4, + 3.9 4 4- 4.114 +•• 



da 



u. s. w. Da aber 



d*A 1 (dj (a+1) df(a—l) 



da~ 2 \ da da 



d 2 A, 3 idf(a+l) df(a—l) 



da" 2 ) da da 



■/(a+1) + /(«-!)} 



so kann man also durch die Differentialquotienten 



die Reihen rechter Hand summiren. 



Für r = 3 erhält man, ebenfalls mit Rücksicht auf die Formeln des Art. 7 



^ = (2»+l) |l.(2n+l) (2»+5) 4 +3 4 3 (2n4-5) (2n+7) 4 +5 



4-6 (2n+7) (2*4-9) 4+, + 10 (2*4-9) (2*+ll) 4 +9 + . . .) 



Diese Gleichungen , welchen die Entwicklung 



f(a+x) = A 1 X 1 + AI, 4 4 A'j 4 . . . 



