Über einige neue Eigeyischaften der Kugel functionen einer Veränderlichen etc. 65 



zu Grunde liegt, Hessen sich leicht noch vermehren; die bisher angeführten, aufweiche ich 

 mich beschränke, mögen hinreichen, die Behauptung zu rechtfertigen, dass nicht nur den 

 Kugelfunctionen A~ sondern auch den Entwickelungs-Coefficienten A eigentümliche Sätze 

 entsprechen. 



Wie von den bisher gefundenen Resultaten in besonderen Fällen, wenn z. B. einer der 

 Ausdrücke 



(a + x) m , log (d + x), e a+ * 



für f (a + x) gesetzt würde, Anwendung zu machen ist, bedarf keiner nähern Auseinander- 

 setzung. 



17. 



Zu einer weitern Anwendung der allgemeinen Gleichung des Art. 15 nehme man an, 

 es werde 



■u = ax 



gesetzt; es entsteht dann die Bedingungsgleichung 



j dA dA x dA 3 ) 



a < A — + X ± — + X 2 — - + = 



( da da da ) 



[ , dX A dX\ t dX, ) 



* 4» *r + ^-£- + A -£- + ■■•: 



f LAjJL/ iXJu Ll*lü 



Da nun, wie in Art. 2 gezeigt worden ist, 



x ~ = nX n + (2n— 3) X n _, + (2n— 7) A'„_ 4 + . . . . 



so können in jener Gleichung alle Glieder in linearer Weise durch die Functionen X ausge- 

 drückt werden und wenn dies geschehen ist, so kann man die Coefficienten von X n auf beiden 

 Seiten jener Gleichung heraussuchen und gelangt auf diesem Wege unmittelbar zu der Relation 



dA n 

 a 



nA n + (2« +1) U, +2 -1- A n+i + A n+6 + ....1 (1) 



da 

 Bemerkt man nun , dass für x = +■ 1 imd x ="- - 1 



f(a) = A + A t + A, + A,j-...+ £>+.... 



/(_«) = Ao - - A, + A, - - A 3 + . . . -f- (— 1)"4. +....' 

 und dass also 



4t* 4- A„ +4 + A, 1+G + . . . = /(a)+ 2 /( ~ a) - - (A + A + 4. + • • • + 4.) 



4 a+8 + 4 n+ 5 + Ä 2n+ , + . .. = /(a) ~ /( ~ a) - (.1, +4.U+...+ A„ +1 ) 



so ergeben sich aus (1), wenn man darin einmal 2n und dann 2n -\- 1 für n setzt und jene 

 Gleichung mit den beiden letzteren verbindet, die folgenden Formeln: 



A „ + A + At + .. + A „ = m±fu> + _l_ {,„ As „ _ . j£) 



Al + Ä , + Ai+ ,.. + , u , = /_M^fc-ä + _L_ ( (2 „ + 1) Ä „ +l _ . % ) 



Denkschriften der matheni.-naturw. Cl. XXI. Bd. 



