66 An ton Winckler. 



Es ist nicht ohne Interesse diese beiden Gleichungen auch noch auf dem folgenden, von 

 dem vorigen gänzlich abweichenden Wege herzuleiten. — Die Coefficienten A n sind wie 

 bekannt durch die Gleichung 



o 



<?« + ! 



^— Jf( aX ) X n^X 



bestimmt. Differentiirt man dieselbe nach a, wodurch sie in 



^ = 2 ^±±jxf>(ax)X ll dx 



— i 



übergeht, bemerkt man ferner, dass 



(2»+l) xX n = nX n _ x + (n+1) X„ +l 

 so kann man das Integral in zwei andere Integrale zerlegen und erhält 



dA„ - +l "+ ' 



2 —^ = n fz^f (ax) dx + (n + 1) /a„ +1 /' (ob) cfa 



da 



— i 



woraus man durch theilweises Intesriren weiter findet 



* = ir K (a) + ( - 1} /( -^i ~ ^./ /(ax) "ät *" ~ -ir7-> W -*r dx 



— i — i 



Drückt man nun die beiden Differentialquotienten von A~„_, und X n+1 gemäss den in 

 Art. 2 entwickelten Formeln durch die Functionen A'aus, so wird man finden 



~ = ^ |/(«) + (-!)"/(-«)] - £ //(«>) {(-"- 3 ) *-* + (-"- 7 i A ^+ • • ■}** 



— i 



- ff \ax) j(2* + 1) A„ 4- (2n— 3) X„_, + . . . j dx 





Die Integrale aber lassen sich durch die Coefficienten ^1 ausdrücken, folglich hat man 

 ,/.]„ /(a)+.(_l)n/(_ ) fi(2»+l) 



2m + 1 ' da 



j„--(j„4-A-, +- ^»-4 +•••) 



Es bedarf keiner Auseinandersetzung was nun weiter zu thun sei, um die beiden Formeln 

 herzustellen, welche sich auf dem früher eingeschlaffenen Wege ergeben haben. 



Wie die auf die Annahme u = ax sich beziehenden Gleichungen dieses Art. in beson- 

 deren Fällen, z. B. wenn einer der Ausdrücke 



(1+ax)'", cos ax, sin ax, c" J '.. . 



für f (ax) gesetzt würde, anzuwenden wären, bedarf eben so wenig einer nähern Bezeichnung. 



