Über einige neue Eigenschaften der Kugelf unctionen einer Veränderlichen etc. (»7 



18. 



Als dritten besondern Fall der allgemeinen Gleichung des Art. 15 will ich annehmen, 

 es sei 



u = 1 — 2xa 4- dr 

 also 



du _ du ■ _, . ., 



sr = - 2tt • ^r = 2 (<*-*> 



Man erhält dann als Bedingungsgleichung für die Coefficienten 



( dA dA x dA 2 dA,„ 

 a <X — - -f JLi — h A: 2 —, r • • • + X a — h • • 



/ aa aa da da 



( ,_ a) j A _ + 4 _ + 4 __ +...+ 4, _ + . . 



Man kann nun das im vorigen Beispiele bezeichnete Verfahren benutzen, um sowohl die 

 Grösse x als auch die Differentialquotienten der X fortzuschaffen. Ist dieses geschehen, so 

 suche man die Coefficienten von X n heraus, zwischen welchen dann die folgende Gleichung 



K+.-^+s) + («A+3— -4+.0 + M»+5— 4,+e) +••••= g^TTj \nAn--a -^j . . (1) 



stattfinden niuss. Die in's Unendliche gehende Reihe kann also durch das Glied A„ und seinen 

 Differentialquotienten summirt werden. Eine sehr leichte Verification dieses bemerkenswerthen 

 Resultats ergibt sich, wenn man beispielsweise 



i 



setzt, wofür 



da 



ist und die Gleichung in eine Identität übergeht. 



Es ist nicht schwer, auch die Summe der n ersten Glieder der A in ähnlicher Weise 

 auszudrücken. Man braucht zu dem Ende in der Gleichung 



/(l — 2«x + O = AI + A,X, + .4, A', + . . . . 



nur x= 4- 1 und x = — 1 zu setzen, so führen die beiden hieraus entstehenden Gleichungen 



f[(l-af] = A + A 1 + A t +.... 

 f[(l+a)*] = A — A + 4,-.... 

 zu den beiden folgenden 



4 4 4 /[(1-q) 2 ] -/[(!+«)'] (A ,■ A i A + 4- -1 ) 



A»+l + 4ä»+3 + A>»+5 4- . . .= g (^1 + A + A ■+■ • • • + A*T-l) 



A A A - /Kl-«) 8 ] +/[(!+«)'] M , a , A 4 + I ) 



