Über einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen einer Veränderlichen etc. 69 



und dieser Gleichung die Form geben 



dA„ 2n+lf'(a) (*± df(u) _ , 1 f(a) f* 1 _ ' , ,, _ , */(«) 





cZcc 



Integrirt man wieder theilweise und verführt überhaupt ganz analog, wie in den beiden 

 vorhergehenden Art., so wird man finden 



[A„ + Ä n _ 3 + ^„_ 4 + A-e + .■••] f («) + [-4-1 + A-s + -4^5 + A-7 + ••••]?» 

 = [?'(«) + <K(a)]/( ? w + tw) + (-1)"- 1 [?'(«) -- <K («)]/( ? w-*w) 



+ 2^TT * (a) ''" ~~ ^+T • "Ä 



Wenn in dieser verallgemeinerten Formel cp (a) = 1 + « 2 und <[> (a) = — 2a. ist, so erhält 

 man die oben angegebenen Resultate wieder. 



19. 



Die Entwickelungscoefficienten A, von welchen bisher die Rede war, haben noch eine 

 andere Eigenschaft, welche, obgleich sehr nahe liegend, doch nicht bemerkt worden zu sein 

 scheint und interessant genug ist, um in Kürze erwähnt zu werden. — Sind nämlich die Ent- 

 wickelungen zweier Functionen cp (x) und <p (x) nach Kugelfunctionen gegeben: 



cp (x) = A X n + A 1 X 1 + A,X, + ... + A„X n + . . . 

 4 (x) = B u X n + B X X, 4- B,X, + . . . 4- 5„X B 4- • • • 



werden diese beiden Gleichungen mit einander multiplicirt und integrirt man die daraus her- 

 vorgehende Gleichung zwischen den Grenzen — 1 und + 1, so ist das Resultat dieser Opera- 

 tionen offenbar in der Gleichung 



T<?(x) 4,(x) dx = %A n B n f X n *dx 



2 

 enthalten. Das rechter Hand allein stehen gebliebene Integral hat zum Werth, so dass 



sich die ganze rechte Seite auf 



°° 2Ä„B„ 



S 



o 2n + 1 



reducirt. Der hierdurch bewiesene Satz lässt sich also in folgender Weise ausdrücken: 



Wenn 



A. = - +1 ß\x) X n dx, B n = 2 -^ßU X n dx 



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gegeben sind, so ist 



A B + I AB, 4- i 4 2 5 2 + . . . + — ^T ^< + ■ ' " = ¥ /"* ^ ^ (,r) dx 



Dieser auf die Entwickelungen nach Kugelfunctionen sich beziehende Satz ist jenem von 

 Parseval (Mein, present^s T. I. Paris 1805, p. 638), welcher für die nach Potenzen fort- 



