Anton Winckler. Übe?- einige neue Eigenschaften der Kugelfunctionen etc. 



schreitenden Reihen gilt, ganz analog. Er lässt sich leicht durch die folgenden, sehr einlachen 

 Beispiele verificiren. Setzt man 



? ( x ) = '\> i x ) — = 



\ 1 — 2 xz -f z 2 



so ist 



A n = B a = 3« 



und 



/ <p i x ) *t (*) cfe = 7 l°g i 



z 

 — 1 



so dass man die Gleichung erhält 



1.1 1 ,. 1,1 + 



1 + IT 2- + -T * + -T * + • • • = TT log 



3 ' 5 " ' 7 ~ ' ' 2 2 "°1 



welche bekanntlieh gilt, so lange — 1 <C.z << + 1 ist. 

 Nimmt man an, es sei 



|/l + 2^ + s 2 )/l-2a;3 + s 2 



so ist 



A, = 3*" , Ä„ = + Z 2 " 



A _ ,>+l 73 _ 2»+l 



-* 1 2h+i ,v J JJ Sn+l * 



und man hat 



^»+i ,,+ 1 dx j 9 . 



/ cg (ar) 4 1 ( a> ) f fo = / 



— 1 — 1 



oder also 



2 



= — arc tang- z 

 z ö 



Der obige Satz liefert hierfür die Gleichuno- 



1 — z~ -\ — — z — z -f . . . = — arc tang z 



3 5 i z 



welche, wie ebenfalls bekannt, richtig ist, so lange — 1 < z < + 1 bleibt. 

 Endlich sei 



? (*) = ,_ » <P ( x ) = 



|/1 — a; 2 yi — 2xb+ b 2 



Da nun, wie ich fand, allgemein 



4„ + l r ( M +l)(» +2)... 2 w f 



^,„ -^7T [- 1#2 ...» J ' A *"+ 1 ~ ° 



. also auch 



in + 1 rO+1) («+2)...2wf 



vi 



und da 



B n = b" 



ist, so hat man die Gleichung 



= i 1 + t ~1^~ L — 1.2...» J • A - 



7 yi_2a ! 6 + ft 1 . V'l- 7 « 5 ' 1.2...« \'\\)S 



Indem ich die vorliegende Arbeit hiermit besehliesse , behalte ich mir die Anwendung 

 mancher darin nur im Allgemeinen besprochener Sätze für eine spätere Gelegenheit vor. 



