Über die transversalen Schwingungen belastete)' Stäbe. 131 



gekrümmten Stab, mit der Axe der x zusammenfallend gedacht, gelangt man durch Anwen- 

 dung des d' AI embert'sehen Princips bekanntlich zu der Bewegungsgleichung: 



1) — t . — - = — um — - (x — x) 



' f dx- dt 2 v 



wenn x', y\ m! sich auf Punkte beziehen, für welche x'^>x, und keine äussern Kräfte auf den 

 Stab wirken. In dieser Summe hat man aber bei vorliegendem Falle zwei Partien zu unter- 

 scheiden, die von einander getrennt werden müssen: 1. den eigentlichen Stab, dessen Quer- 

 schnitt und Dichte constant verausgesetzt wird; 2. die an den Stab befestigte Masse 9ft mit den 

 Coordinaten a, b, ihres Befestigungspunktes, und den Coordinaten r., ty irgend eines Massen- 

 elementes m. Dieser Theil wird in seinen einzelnen Punkten im Gegensatze zu dem früheren 

 von keinen Elasticitätskräften angegriffen. 

 Indem man Kürze halber setzt: 



r/T la 



wo g die Acceleration der Schwere, und p' das Gewicht des Stabes bedeutet, wird aus Glei- 

 chung 1) in der Summe die beiden Theile berücksichtigend: 



Öf 



d 2 y r' dHj . , . _ , 1 d'b , 



T -jt = — / ~h &—*) dx — — S m . -f (r— x). 



1 dx 2 J dt 2 v öf d? ^ 



Diese Bewegungsgleichung wurde aber, wie oben bemerkt, aus der Gleichgewichts- 

 bedingung erhalten, für welche es nothwendig, aber auch hinreichend ist, wenn das Moment 

 der Kräfte, die die beiden unendlich nahen Querschnitte des Stabes bei [xy] parallel zu stellen 

 suchen, gleich ist der Summe der Momente der den Stab in den einzelnen Punkten angreifen- 

 den Kräfte, für welche x' > x, und der ganze Theil von x = bis x == x, als fest und 

 unbeweglich angesehen wird. 



Erinnert man sich dessen, so sieht man sofort, dass für alle jene Punkte, für welche man 

 x >■ a hat, die zweite Summe verschwinden muss, und daher, indem man zur besseren Unter- 

 scheidung, die auf solche Punkte bezüglichen Grössen (x, £, r t nennt, für die obige Gleichung 

 folgende zwei zu schreiben sind: 



„(/■'// r a d"-y' , . , , , if' «?V /W . m 1 „ dh) 



3 x < a, f -l = — -f (x'—x) dx — / — (S—x) d? — — 2m . — (je— s») 



1 — ' ' dx- J dt- K J de K 8<p dt 2 ^ 



Differentiirt man diese Gleichungen nach x und £, so sieht man, dass die von der Verän- 

 derlichkeit der untern Grenze herrührenden Glieder verschwinden, indem man darin x' = x 

 und £' = £ zu setzen hat. Es wird somit 



9 d* y r a dy , , , r' d 2 r/ 1 dh) 



f -4 = / -L x 'dx' + / — Pdf -\- — 2m . — r 



1 dx 3 J dt 2 J dt 2 ' df dt 2 ^ 



x a 



' de J de 



