Über die transversalen Schwingungen belasteter Stäbe. 133 



Endlich wird man für das Ende des Stabes, da dieses keine äussern Kräfte angreifen 

 sollen, noch setzen müssen: 



"> « = '• r£ = « rj = »' 



Die Grössen s und <j, von denen die Schwingungsdauer abhängig ist, wurden bis jetzt 

 als von einander verschieden angenommen. Man sieht aber leicht ein, dass eine solche An- 

 nahme mit den Bedingungen 10) im Widerspruche steht, sobald man die Schwingungsweise 

 der obern Theile des Stabes ganz allgemein und ohne weitere Bedingung annehmen würde. 



In der That ist es unmöglich, dass zwei Punkte, die ihre Schwingung in verschiedenen 

 Zeiten vollenden, für jedes t sich zugleich an demselben Orte befinden, und wenn man die 

 Gleichungen 10) zweimal nach t differentiirt, so erhält man z. B. aus einer derselben 



aber es ist 



\dt-) n \dtja 





woraus wegen y = r t sogleich folgt 



* = o, 



und man hat obige Behauptung auch aus den Bedingungsgleichungen erwiesen. 



Allein dieses zeigt nur, dass die Punkte von x = a bis x = l Schwingungen vollführen, 

 die gleiche Dauer mit denen der Punkte von x = bis x = a haben, stellt aber die Möglich- 

 keit nicht in Abrede, dass ausserdem noch eine andere Schwingung gleichzeitig und blos in 

 dem oberen Theil des Stabes stattfinde. Denn macht man die Annahme, es habe yj die Form 



7j = g 1 sin ysH -f h' cos fs 2 t -\- g" . sin ya L 7 + h" cos ~(a 2 t 



was immer erlaubt ist, da der Differentialgleichung eine Summe ähnlicher Ausdrücke wie 7) 



genügt, und es sei für £ = a, g" = und h" = 0, dessgleichen : — - = und — = 0, so 



wird man vollständig den Bedingungen 10) genügen, obwohl für £>a die obigen Ausdrücke 

 endliche Werthe annehmen. 



Es ist zwar im Vorhinein klar, dass in einem Theil des Stabes nicht eine Schwingungs- 

 weise existiren kann, ohne sich sogleich über seine ganze Länge zu verbreiten,' jedoch der 

 Vollständigkeit wegen mag auch dieses aus den aufgestellten Bedingungen erwiesen werden. 



Zu diesem Zwecke wird man die erste der Gleichungen 9) wählen. Bedenkt man, dass 

 die Punkte der Masse 93t übereinstimmend mit denen der untern Theile des Stabes schwingen, 

 so lässt sich diese Gleichung unter obiger Annahme von vj auf die Form bringen 



ta (^\ — fY (g (r— o) f/r — T Vi?j sin -i/t — \f ( ^\ — T V ß' (E—a) dS — fs^sl cos ysH = 



a a 



= Y"a 4 / g" (?' — a) d% . sin ya L V \ yo* I h" (?' — a) dl- . cos -p'"7 



